Exercices pour le cours de physique de Feynman
36. ANALYSE DE FOURIER DES ONDES
On se référera au Cours de Physique de Feynman, Mécanique 2, Chap. 50.
Exercice 36.1 Donner le développement de Fourier des fonctions
(a) y = constante,
(b) y = sin x (0 x 2π).
Exercice 36.2 En partant de l’analyse de Fourier de l’onde carrée montrée sur la figure 36.1,
Figure 36.1
x
f ( x)
0
1
π
2π
f (x) =
4
π
sin x +
1
3
sin 3x +
1
5
sin 5x + · · ·
,
Montrer que
(a) 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
± · · · = π/4,
(b) 1 +
1
9
+
1
25
+
1
49
+ · · · = π
2
/8,
(c) 1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
+ · · · = (4/3)
1 +
1
9
+
1
25
+
1
49
+ · · ·
= π
2
/6.
Exercice 36.3
(a) Analyser la fonction périodique g(x), dont un cycle est dessiné sur la figure 36.2,
en ses composantes de Fourier, et montrer que vos résultats concordent avec le
résultat obtenu en intégrant la fonction de l’exercice 36.2.
Figure 36.2
x
g(x)
0
1
π
2π
(b) Utiliser le résultat précédent pour montrer que :
1. 1 + 1/3 4 + 1/5 4 + 1/7 4 + · · · = π 4 /96,
2.
∞
n=1
1/n 4 =
2 4
2 4 −1
(1 + 1/3 4 + 1/5 4 + · · · ) = π 4 /90.
Exercice 36.4 Au Chapitre 45 du volume I, on a besoin d’évaluer
∞
0
x 3 dx
e x − 1
.
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