36. Analyse de Fourier des ondes
On peut le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur par e −x et en développant
1
1 − e −x = 1 + e
−x
+ e
−2x
+ · · · ,
et en intégrant terme à terme. Ainsi, on doit obtenir
∞
0
x 3 dx
e x − 1
=
∞
0
u
3 e
−u du ×
1 + 1/2
4
+ 1/3
4
+ · · ·
= 6 × π
4
/90 = π
4
/15.
Essayez !
Exercice 36.5 Une corde de guitare est pincée au milieu de sa longueur, comme
le montre la figure 36.3. Calculer les amplitudes des trois premières harmoniques A 1 ,
A 2 , A 3 , par rapport à l’amplitude du fondamental A 0 .
Figure 36.3
Exercice 36.6 Trouver la série de Fourier qui représente la fonction en dents de scie
h(x) montrée sur la figure 36.4, et utilisée dans le balayage horizontal d’un oscilloscope.
Figure 36.4
x
h( x)
0
1
2π
4π
6π
Exercice 36.7 Une corde de longueur L a une densité de masse linéaire σ et est
soumise à une tension S . À l’instant t = 0, la forme est
y(x) = 3 sin
πx
L
+ sin
3πx
L
.
(a) Quelle est la période d’oscillation T ?
(b) Quelle est la forme à une demi-période ? (t = T /2)
Exercice 36.8 Un redresseur d’onde total est un dispositif qui transforme une onde
sinusoïdale d’amplitude V 0 dans la forme montrée sur la figure 36.5.
Figure 36.5
t
V(t )
0
V0
(a) Évaluer la valeur moyenne de V(t). Ce sera le voltage du courant continu de sortie.
(b) Trouver l’amplitude A 2 du second harmonique du courant de sortie.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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On peut le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur par e −x et en développant
1
1 − e −x = 1 + e
−x
+ e
−2x
+ · · · ,
et en intégrant terme à terme. Ainsi, on doit obtenir
∞
0
x 3 dx
e x − 1
=
∞
0
u
3 e
−u du ×
1 + 1/2
4
+ 1/3
4
+ · · ·
= 6 × π
4
/90 = π
4
/15.
Essayez !
Exercice 36.5 Une corde de guitare est pincée au milieu de sa longueur, comme
le montre la figure 36.3. Calculer les amplitudes des trois premières harmoniques A 1 ,
A 2 , A 3 , par rapport à l’amplitude du fondamental A 0 .
Figure 36.3
Exercice 36.6 Trouver la série de Fourier qui représente la fonction en dents de scie
h(x) montrée sur la figure 36.4, et utilisée dans le balayage horizontal d’un oscilloscope.
Figure 36.4
x
h( x)
0
1
2π
4π
6π
Exercice 36.7 Une corde de longueur L a une densité de masse linéaire σ et est
soumise à une tension S . À l’instant t = 0, la forme est
y(x) = 3 sin
πx
L
+ sin
3πx
L
.
(a) Quelle est la période d’oscillation T ?
(b) Quelle est la forme à une demi-période ? (t = T /2)
Exercice 36.8 Un redresseur d’onde total est un dispositif qui transforme une onde
sinusoïdale d’amplitude V 0 dans la forme montrée sur la figure 36.5.
Figure 36.5
t
V(t )
0
V0
(a) Évaluer la valeur moyenne de V(t). Ce sera le voltage du courant continu de sortie.
(b) Trouver l’amplitude A 2 du second harmonique du courant de sortie.
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