35. Système d’ondes linéaires : battements, modes
Exercice 35.9 Pour des ondulations sur l’eau qui avancent avec une vitesse minimale,
trouver :
(a) la longueur d’onde λ ;
(b) la fréquence ν ;
(c) la vitesse c.
Exercice 35.10 Deux sources sonores S 1 et S 2 sont situées à 10 m l’une de l’autre,
comme sur la figure 35.3. Sur la même ligne, en A et B il y a deux observateurs. S 1
émet une onde plane continue dont l’excès de pression est p e = A cos (200t), et S 2 émet
une onde plane continue pour laquelle p e = A cos (210t). Les intervalles de distance,
S 1 S 2 , S 2 A et AB sont chacun de 10 m. Pour les parties (a) et (b) ci-dessous, on prendra
comme vitesse du son 340 m/sec.
Figure 35.3
S1
S2
A
B
10 m
10 m
10 m
(a) Combien de battements par seconde ν chaque observateur entend-il ?
(b) Quel est l’intervalle de temps Δt entre les sons les plus intenses entendus par A et
ceux entendus par B ?
(c) S’il y avait de la dispersion dans le milieu de telle façon que les ondes de fréquence
plus haute se propagent à 341 m/sec et celle de fréquence plus basse à 340 m/sec,
avec quelle vitesse v les battements formés par les deux sons avanceraient-ils de A
vers B ?
Exercice 35.11 Un long train de marchandises diesel remonte une colline à une vitesse de 5,0 m s −1 sur une voie droite. En approchant d’un tunnel, creusé dans un mur
vertical et plat, l’ingénieur donne un long coup de klaxon, dont la fréquence principale
est 340 Hz. Le son du klaxon et son écho sur le mur sont entendus à la fois
(a) par l’ingénieur ;
(b) par un ouvrier au sol près du wagon de queue.
Combien de battements par seconde ν chaque personne entend-elle ?
Exercice 35.12 Montrer que la fonction
f (x,y,z,t) = Ae
iωt sin (lπx/a) sin (mπy/b) sin (nπz/c),
où
ω 2 = v 2 π 2 (l 2 /a 2 + m 2 /b 2 + n 2 /c 2 ),
et l, m, n sont entiers ≥ 1,
(a) satisfait l’équation d’ondes à trois dimensions (avec une vitesse de propagation v),
(b) est égale à zéro à x = 0 et x = a, y = 0 et y = b, et z = 0 et z = c, et
(c) oscille de façon sinusoïdale en temps.
(d) Si a : b : c = 1 : 2 : 3 quelle est la fréquence ω 0 ?
(e) Évaluer les dix fréquences les plus basses en fonction de ω 0 . Faites-en la liste par
ordre croissant et dessinez-les sur une échelle verticale.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 35.9 Pour des ondulations sur l’eau qui avancent avec une vitesse minimale,
trouver :
(a) la longueur d’onde λ ;
(b) la fréquence ν ;
(c) la vitesse c.
Exercice 35.10 Deux sources sonores S 1 et S 2 sont situées à 10 m l’une de l’autre,
comme sur la figure 35.3. Sur la même ligne, en A et B il y a deux observateurs. S 1
émet une onde plane continue dont l’excès de pression est p e = A cos (200t), et S 2 émet
une onde plane continue pour laquelle p e = A cos (210t). Les intervalles de distance,
S 1 S 2 , S 2 A et AB sont chacun de 10 m. Pour les parties (a) et (b) ci-dessous, on prendra
comme vitesse du son 340 m/sec.
Figure 35.3
S1
S2
A
B
10 m
10 m
10 m
(a) Combien de battements par seconde ν chaque observateur entend-il ?
(b) Quel est l’intervalle de temps Δt entre les sons les plus intenses entendus par A et
ceux entendus par B ?
(c) S’il y avait de la dispersion dans le milieu de telle façon que les ondes de fréquence
plus haute se propagent à 341 m/sec et celle de fréquence plus basse à 340 m/sec,
avec quelle vitesse v les battements formés par les deux sons avanceraient-ils de A
vers B ?
Exercice 35.11 Un long train de marchandises diesel remonte une colline à une vitesse de 5,0 m s −1 sur une voie droite. En approchant d’un tunnel, creusé dans un mur
vertical et plat, l’ingénieur donne un long coup de klaxon, dont la fréquence principale
est 340 Hz. Le son du klaxon et son écho sur le mur sont entendus à la fois
(a) par l’ingénieur ;
(b) par un ouvrier au sol près du wagon de queue.
Combien de battements par seconde ν chaque personne entend-elle ?
Exercice 35.12 Montrer que la fonction
f (x,y,z,t) = Ae
iωt sin (lπx/a) sin (mπy/b) sin (nπz/c),
où
ω 2 = v 2 π 2 (l 2 /a 2 + m 2 /b 2 + n 2 /c 2 ),
et l, m, n sont entiers ≥ 1,
(a) satisfait l’équation d’ondes à trois dimensions (avec une vitesse de propagation v),
(b) est égale à zéro à x = 0 et x = a, y = 0 et y = b, et z = 0 et z = c, et
(c) oscille de façon sinusoïdale en temps.
(d) Si a : b : c = 1 : 2 : 3 quelle est la fréquence ω 0 ?
(e) Évaluer les dix fréquences les plus basses en fonction de ω 0 . Faites-en la liste par
ordre croissant et dessinez-les sur une échelle verticale.
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