19. Oscillations forcées avec amortissement
Exercice 19.9 Un circuit résonant se compose de deux inductances, L et 3L, et deux
condensateurs, C et 3C, tous reliés
(a) en série ;
(b) en parallèle.
Trouver la fréquence de résonance ω 0 dans les deux cas.
Exercice 19.10 La « constante de temps » d’un circuit en série résistance-capacité
est RC ; celle d’un circuit inductance-capacité est
√
LC ; à partir de considérations
dimensionnelles, qu’attendrait-on de la constante de temps T d’un circuit en série
résistance-inductance ?
Exercice 19.11 Quelle est la valeur approchée de Q d’un diapason de 1000 Hz ?
(faites usage de votre expérience.)
Exercice 19.12
(a) Montrer que l’équation différentielle du mouvement d’un masse m sur un ressort
dont la constante est k, et qui a une force de frottement −mγv est
d
2 x/dt
2
+ γdx/dt + ω
2
0 x = 0,
où ω 2
0 = k/m.
(b) Résoudre cette équation (en employant des variables complexes) en posant une
solution de la forme x = e αt et en trouvant que la solution générale pour γ < 2ω 0 ,
est
x = e
−γt/2 (A cos ωt + B sin ωt) ,
avec ω =
ω 2
0 − γ 2 /4.
(c) Quelle est la solution générale si γ > 2ω 0 ?
(d) À t = 0, la position et la vitesse de la masse m sont x = x 0 et ˙
x = v 0 . Trouver les
coefficients A et B.
Exercice 19.13 Des aéroglisseurs placés sur un rail linéaire perdent de la vitesse principalement à cause de la traînée de frottement du mince film d’air qui les soutient. Cette
force de viscosité est proportionnelle à la vitesse.
(a) Écrire et résoudre l’équation différentielle du mouvement d’un aéroglisseur sur un
rail de sustentation.
(b) En supposant que la position et la vitesse initiales d’un aéroglisseur se déplaçant
dans la direction x sont, respectivement, x 0 et v 0 , donner la vitesse de l’aéroglisseur
en fonction du temps v(t) et en fonction de la distance v(x).
Exercice 19.14 Un glisseur sur une piste penchée possède un aimant, et cet aimant
engendre des courants d’Eddy dans la piste qui réagissent à leur tour sur l’aimant, ce qui
donne une force retardatrice, très précisément proportionnelle à la vitesse : F = −mγv.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 19.9 Un circuit résonant se compose de deux inductances, L et 3L, et deux
condensateurs, C et 3C, tous reliés
(a) en série ;
(b) en parallèle.
Trouver la fréquence de résonance ω 0 dans les deux cas.
Exercice 19.10 La « constante de temps » d’un circuit en série résistance-capacité
est RC ; celle d’un circuit inductance-capacité est
√
LC ; à partir de considérations
dimensionnelles, qu’attendrait-on de la constante de temps T d’un circuit en série
résistance-inductance ?
Exercice 19.11 Quelle est la valeur approchée de Q d’un diapason de 1000 Hz ?
(faites usage de votre expérience.)
Exercice 19.12
(a) Montrer que l’équation différentielle du mouvement d’un masse m sur un ressort
dont la constante est k, et qui a une force de frottement −mγv est
d
2 x/dt
2
+ γdx/dt + ω
2
0 x = 0,
où ω 2
0 = k/m.
(b) Résoudre cette équation (en employant des variables complexes) en posant une
solution de la forme x = e αt et en trouvant que la solution générale pour γ < 2ω 0 ,
est
x = e
−γt/2 (A cos ωt + B sin ωt) ,
avec ω =
ω 2
0 − γ 2 /4.
(c) Quelle est la solution générale si γ > 2ω 0 ?
(d) À t = 0, la position et la vitesse de la masse m sont x = x 0 et ˙
x = v 0 . Trouver les
coefficients A et B.
Exercice 19.13 Des aéroglisseurs placés sur un rail linéaire perdent de la vitesse principalement à cause de la traînée de frottement du mince film d’air qui les soutient. Cette
force de viscosité est proportionnelle à la vitesse.
(a) Écrire et résoudre l’équation différentielle du mouvement d’un aéroglisseur sur un
rail de sustentation.
(b) En supposant que la position et la vitesse initiales d’un aéroglisseur se déplaçant
dans la direction x sont, respectivement, x 0 et v 0 , donner la vitesse de l’aéroglisseur
en fonction du temps v(t) et en fonction de la distance v(x).
Exercice 19.14 Un glisseur sur une piste penchée possède un aimant, et cet aimant
engendre des courants d’Eddy dans la piste qui réagissent à leur tour sur l’aimant, ce qui
donne une force retardatrice, très précisément proportionnelle à la vitesse : F = −mγv.
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