6.5. Linéarisation autour des équilibres hyperboliques
■a O
c
rj
û
t H
O
(N
xz
O i
>.
C L
O
U
Problème 6.1 Un système polynomial de dimension 2
' x ^ y { \ - y)
On considère le système non-linéaire S :
On notera z = \ €
\y
ÿ = x {\ - x )
^ l’état du système, /(z) la fonction z
1. Déterminer les équilibres du système.
2. (a) Vérifier que le flot z est symétrique par rapport à la droite D d’équation
y - X.
(b) Vérifier que D est invariante par le flot.
(c) Sur D, le système se réduit à un système de dimension 1 qu’on paramétrera
par X Le résoudre analytiquement pour la condition initiale xq =
^ montrer alors que la trajectoire explose à un instant fini î\ qu’on déterminera.
3. (a) Linéariser S au voisinage de chacun des équilibres ; quelle est la nature des
équilibres des systèmes linéarisés ?
(b) Que peut-on en déduire quant à la nature des équilibres de 5 ?
4. Déterminer l’isocline horizontale 4 , ensemble des points où la tangente à une
orbite est horizontale. Déterminer de même l’isocline verticale 4.
5. Esquisser un possible portrait de phases du système, conforme aux conclusions
des questions précédentes. Donner un (des) exemple(s) de question(s) sans réponse à ce stade de l’étude.
Q
©
6 .5 .2
T h é o r è m e d e H a r t m a n - G r o b m a n
Le 2^ théorème de Liapounov établit que l’identité de la nature (stable ou instable)
d’un équilibre hyperbolique est la même pour un système et pour son linéarisé. Il
ne va cependant pas jusqu^à la conjugaison des deux systèmes, notion plus riche.
Car au voisinage de deux équilibres instables, deux systèmes peuvent ne pas être
conjugables. Par exemple, la figure 6.4 représente les trajectoires de deux systèmes
d’ordre 2. Les spectres de V / au voisinage des équilibres sont (1, 1) (figure de
gauche) et (-1 , 1) (figure de droite). Bien que les deux équilibres soient instables,
les deux systèmes ne sont pas conjugués, ce que la différence qualitative des deux
champs illustre bien.
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Problème 6.1 Un système polynomial de dimension 2
' x ^ y { \ - y)
On considère le système non-linéaire S :
On notera z = \ €
\y
ÿ = x {\ - x )
^ l’état du système, /(z) la fonction z
1. Déterminer les équilibres du système.
2. (a) Vérifier que le flot z est symétrique par rapport à la droite D d’équation
y - X.
(b) Vérifier que D est invariante par le flot.
(c) Sur D, le système se réduit à un système de dimension 1 qu’on paramétrera
par X Le résoudre analytiquement pour la condition initiale xq =
^ montrer alors que la trajectoire explose à un instant fini î\ qu’on déterminera.
3. (a) Linéariser S au voisinage de chacun des équilibres ; quelle est la nature des
équilibres des systèmes linéarisés ?
(b) Que peut-on en déduire quant à la nature des équilibres de 5 ?
4. Déterminer l’isocline horizontale 4 , ensemble des points où la tangente à une
orbite est horizontale. Déterminer de même l’isocline verticale 4.
5. Esquisser un possible portrait de phases du système, conforme aux conclusions
des questions précédentes. Donner un (des) exemple(s) de question(s) sans réponse à ce stade de l’étude.
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T h é o r è m e d e H a r t m a n - G r o b m a n
Le 2^ théorème de Liapounov établit que l’identité de la nature (stable ou instable)
d’un équilibre hyperbolique est la même pour un système et pour son linéarisé. Il
ne va cependant pas jusqu^à la conjugaison des deux systèmes, notion plus riche.
Car au voisinage de deux équilibres instables, deux systèmes peuvent ne pas être
conjugables. Par exemple, la figure 6.4 représente les trajectoires de deux systèmes
d’ordre 2. Les spectres de V / au voisinage des équilibres sont (1, 1) (figure de
gauche) et (-1 , 1) (figure de droite). Bien que les deux équilibres soient instables,
les deux systèmes ne sont pas conjugués, ce que la différence qualitative des deux
champs illustre bien.
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