Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
Figure 6.4- Deux équilibres instables non conjugués.
Le théorème de Hartman-Grobman, qui met en jeu une conjugaison, est plus fort
que les théorèmes de Liapounov et son énoncé est simple. Nous le donnons sans
démonstration ; celle-ci se trouve dans des ouvrages plus spécialisés.
Théorème de Hartman-Grobman
Un système de classe
est localement topologiquement conjugué à son linéarisé
au voisinage d ’un équilibre hyperbolique.
T J
O
c
rj
û
« JD
t H
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
Ce théorème possède la limitation suivante : on n’obtient pas nécessairement une
plus grande régularité de la conjugaison, c’est-à-dire le fait qu’elle soit de classe
(avec P > 1) en augmentant la régularité du système. Il peut en effet apparaître un
phénomène appelé résonance défini ci-après, phénomène dont le Système Solaire en
tant que système dynamique offre de nombreux exemples.
R é s o n a n c e
Soit A un endomorphisme de R", de valeurs propres d], /I2 , . . . , /L. Les d, appartiennent à R ou C, chacune étant comptée un nombre de fois égal à sa multiplicité. On dit que A présente une résonance d ’ordre k (/: > 2) s’il existe un entier
i e {], 2,
n} et des entiers naturels aj tels que Af = a\ Ai -1- ^2 /I2 + ... +
d„,
avec a] -i- a 2 + ... + ctfj = k.
L’existence d’une résonance ne permet pas de garantir une conjugaison d’ordre
supérieur ou égal à 1 du système initial S avec son linéarisé, ceci même si le système
non-linéaire initial est de classe
Par exemple, pour le système S bidimensionnel suivant :
^ ^2 on a
d] = 1 et d2 = 2. L’égalité A2 = 2 Ai nous place dans le schéma d’une résonance,
avec i = l, ai = 2, »2 = 0, d’où l’ordre de résonance k = 2. La figure 6.5.a montre
les portraits de phases du système S (voir exercice 6.3), la figure 6.5.b celui de son
linéarisé 5^.
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Figure 6.4- Deux équilibres instables non conjugués.
Le théorème de Hartman-Grobman, qui met en jeu une conjugaison, est plus fort
que les théorèmes de Liapounov et son énoncé est simple. Nous le donnons sans
démonstration ; celle-ci se trouve dans des ouvrages plus spécialisés.
Théorème de Hartman-Grobman
Un système de classe
est localement topologiquement conjugué à son linéarisé
au voisinage d ’un équilibre hyperbolique.
T J
O
c
rj
û
« JD
t H
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
Ce théorème possède la limitation suivante : on n’obtient pas nécessairement une
plus grande régularité de la conjugaison, c’est-à-dire le fait qu’elle soit de classe
(avec P > 1) en augmentant la régularité du système. Il peut en effet apparaître un
phénomène appelé résonance défini ci-après, phénomène dont le Système Solaire en
tant que système dynamique offre de nombreux exemples.
R é s o n a n c e
Soit A un endomorphisme de R", de valeurs propres d], /I2 , . . . , /L. Les d, appartiennent à R ou C, chacune étant comptée un nombre de fois égal à sa multiplicité. On dit que A présente une résonance d ’ordre k (/: > 2) s’il existe un entier
i e {], 2,
n} et des entiers naturels aj tels que Af = a\ Ai -1- ^2 /I2 + ... +
d„,
avec a] -i- a 2 + ... + ctfj = k.
L’existence d’une résonance ne permet pas de garantir une conjugaison d’ordre
supérieur ou égal à 1 du système initial S avec son linéarisé, ceci même si le système
non-linéaire initial est de classe
Par exemple, pour le système S bidimensionnel suivant :
^ ^2 on a
d] = 1 et d2 = 2. L’égalité A2 = 2 Ai nous place dans le schéma d’une résonance,
avec i = l, ai = 2, »2 = 0, d’où l’ordre de résonance k = 2. La figure 6.5.a montre
les portraits de phases du système S (voir exercice 6.3), la figure 6.5.b celui de son
linéarisé 5^.
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