6.5. Linéarisation autour des équilibres hyperboliques
Figure 6.5- Un système résonant et son linéarisé.
Exercice 6.3 Une résonance en dimension 2
On considère le système S plan : (^) =
y) =
On notera z = P j e
(ly +
•a O c D
Q
i-H
O
(N
C T
>Q .
O
U
1. Déterminer le linéarisé 5^ de 5 à son équilibre z\ =
Donner la nature de
l’équilibre zi pour 5^ et pour S .
2. Vérifier que le système S présente en son équilibre z\ une résonance d’ordre 2.
3. Résoudre analytiquement S en donnant l’expression du flot (p(t, z). En déduire
l’équation des orbites et commenter le portrait de phases déjà esquissé par la
figure 6.5.a.
En l’absence de résonance, la situation s’améliore ; un résultat dû à Sternberg
donne une condition suffisante de conjugabilité de classe
Le théorème de linéarisation de Sternberg dispose en effet que si / est de classe
et si le linéarisé S ¿
ne présente aucune résonance, alors S et S t sont conjugués de classe
Si / est
de classe C^, le résultat est d’énoncé plus complexe : S et S l sont conjugables de
classe C^, où q est une fonction croissante de p tendant vers l’infini lorsque p ^ oo.
Q
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