Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
•a
O c
13
Q
vû l“l
O
(N
gi
>Q .
O
U
Problème 6.2 Un système de dimension 2
A
SoitZ = |
vjI
Le plan
est muni du repère habituel
= (/, /) ainsi que du repère attaché aux
coordonnées polaires : "R\ = (ü, v) (voir figure).
Figure 6.6- Les repères 'Rq et R \ .
Soit S le système dynamique z = fiz ) . On pose p =
Pour Z 0, le champ / est ainsi défini dans le repère cartésien
:
1
R^
Pour 7 = 0, on définit f(z) = 0 E R^.
1. Déterminer r(les) équilibre(s) du système.
2. Montrer que la fonction F(z) = est une fonction de Liapounov dans le disque
P < 1.
3. En déduire la nature de l’équilibre 0.
4. Identifier les trajectoires périodiques du système.
5. Discuter les propriétés géométriques des trajectoires.
6. Tracer le portrait de phases du système.
y
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