St r u c t u r a t io n
DU FLOT
7
-O O
c
n
û
kD 1-H
O
rs]
(S)
xz
ai
>Q .
O
U
Les chapitres précédents étaient centrées sur les propriété locales du flot d’un système
dynamique, qu’un survol permet de résumer comme suit.
• Au voisinage de tout point régulier .vq (tel donc que / ( xq) 0), le flot se comporte
comme un flot constant f(x ) = Cte ; « se comporte comme » signifie « est conjugué
à ». Ceci est vrai, que le système soit linéaire ou non.
• Au voisinage d’un équilibre :
- le flot d’un système linéaire s’obtient analytiquement ; la classification des équilibres est donnée par le théorème général de stabilité des systèmes linéaires
(§ 4.2.3). Celui-ci met en jeu l’indice de l’endomorphisme, triplet de nombres
rassemblant les dimensions des sous-espaces vectoriels stable, central et instable.
- le flot d’un système non-linéaire est localement conjugué à celui du système
linéarisé si l’équilibre est hyperbolique. Dans le cas contraire, tout est possible,
y compris le changement de nature de l’équilibre par linéarisation.
Ces résultats, tout intéressants qu’ils soient, ne suffisent pas à esquisser la physionomie d’un champ dans sa globalité. Nous avons en effet déjà observé dès la dimension 2 que deux champs présentant par exemple chacun un équilibre unique, hyperbolique et instable, peuvent ne pas être conjugués, comme le rappelle la figure 7.1.
a)
b)
Figure 7.1 - Deux champs non conjugués.
Il est donc nécessaire, et c’est l’objet de ce chapitre, de définir et d’analyser certaines notions fiées aux caractéristiques globales du champ.
Q
©
97
DU FLOT
7
-O O
c
n
û
kD 1-H
O
rs]
(S)
xz
ai
>Q .
O
U
Les chapitres précédents étaient centrées sur les propriété locales du flot d’un système
dynamique, qu’un survol permet de résumer comme suit.
• Au voisinage de tout point régulier .vq (tel donc que / ( xq) 0), le flot se comporte
comme un flot constant f(x ) = Cte ; « se comporte comme » signifie « est conjugué
à ». Ceci est vrai, que le système soit linéaire ou non.
• Au voisinage d’un équilibre :
- le flot d’un système linéaire s’obtient analytiquement ; la classification des équilibres est donnée par le théorème général de stabilité des systèmes linéaires
(§ 4.2.3). Celui-ci met en jeu l’indice de l’endomorphisme, triplet de nombres
rassemblant les dimensions des sous-espaces vectoriels stable, central et instable.
- le flot d’un système non-linéaire est localement conjugué à celui du système
linéarisé si l’équilibre est hyperbolique. Dans le cas contraire, tout est possible,
y compris le changement de nature de l’équilibre par linéarisation.
Ces résultats, tout intéressants qu’ils soient, ne suffisent pas à esquisser la physionomie d’un champ dans sa globalité. Nous avons en effet déjà observé dès la dimension 2 que deux champs présentant par exemple chacun un équilibre unique, hyperbolique et instable, peuvent ne pas être conjugués, comme le rappelle la figure 7.1.
a)
b)
Figure 7.1 - Deux champs non conjugués.
Il est donc nécessaire, et c’est l’objet de ce chapitre, de définir et d’analyser certaines notions fiées aux caractéristiques globales du champ.
Q
©
97