Chapitre 7 • Structuration du flot
7 . 1
E n s e m b l e s - l i m i t e s
Soit un système S localement lipschitzien sur П c
et x un point de П tel que J(x)
ne soit pas borné à droite. On appelle ensemble-limite de .r, ou ensemble iu-limite
de X, que l’on note a>{x), l’ensemble :
6u(jc) =
x), 5 > /}. Intersection de fermés, ù j ( x ) est lui-même fer m é.
r>0
ü){x) est donc l’intersection des branches terminales de l’orbite de x, les temps initiaux de ces branches étant arbitrairement grands. Il est utile de donner une autre
caractérisation de ù j {x ).
Deux caractérisations équivalentes de со{х)
Les deux définitions suivantes de l’ensemble-limite ù j { x ) de
g î 2 sont
équivalentes :
• ù){x) = П {(pis, x), s>t]
t > 0
ùj(x) est l’ensemble des point y de Cl tels qu’il existe une suite réelle (tn) tendant
vers -fcx», avec lim
x) = y
/Z— 400
-O O
C
ГЗ
û
Ю
t H
O
ГМ
Ce résultat s’établit sans difficulté. Sa démonstration fait l’objet de l’exercice 7.1.
La deuxième définition sous-entend que (p(t, .r) reste défini pour r > oo, donc
que l’ensemble des temps J(x) n’est pas bornée à droite. Il est aisé de surmonter
cette restriction : s’il y a un temps tf d’explosion (ou d’implosion) de la solution, on
remplacera tn ^ oo par
tff
Exercice 7.1 Deux définitions équivalentes de l’ensemble limite
Démontrer l’équivalence des deux définitions données dans l’encadré ci-avant.
ai
>C L
O
U
Exemples d ’ensembles-limites
1. Les branches terminales d’orbites du système ^ ~
/i) ‘
< 0
sont des arcs de spirale logarithmique. Leur adhérence contient 0.
Ici,
= {0} pour tout point X e R-. On notera que l’intersection des arcs d’orbite eux-même est vide (sauf pour x = 0); mais <^(x) est l’intersection de leur
adhérence. En résumé : Vx e R - , ùj(x) = {0}. Le tableau II (cas | 1 2 |, § 5.2) donne
un portrait de phases de ce système.
98