7.1. Ensembles-limites
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
x :
oi
>Q .
O
U
2. Même exemple, mais avec n > 0. Dans ce cas, les arcs de trajectoire sont des
branches infinies de spirale. Fermés, ils coïncident avec leur adhérence.
Leur intersection est vide, sauf pour x = 0.
En résumé : <^(0) = {0} et ùj{x ) = cp pour xi^O.
lp{\ -p)^
3. Dans le système plan décrit par
en coordonnées polaires, l’ensemble H
^ d est pour p différent de 0 et de 1 la réunion d’un arc de
/>0
spirale et du cercle unité F. Pour p = 1, il s’agit du cercle unité, et pour p = 0 du
point {0}.
En conclusion : ¿ü(0) = {0} et < jj{x) = F pour xi^{).
F est lui-même une orbite correspondant à une trajectoire périodique. On
dit que c’est un cycle-limite, notion sur laquelle nous reviendrons au paragraphe 7.2.2. La figure 7.1 .b représente un portrait de phases du système.
Dans ces trois premiers exemples, un ensemble-limite est toujours une orbite.
L’exemple 4 montre que ce n’est pas toujours le cas.
4. Modifions comme suit l’exemple 3 : on se place sur Fl = R-*. Un point x donné
du plan emprunte la même orbite dans le même sens que dans l’exemple précédent, mais à vitesse linéaire ||x|| = |x- l|.|x-i-1|. On constate alors que :
ù){x) = F s\ ||x|| 1 ;
cj(x) = {-1} si X appartient au demi-cercle {p = 1, 6 ^ e]0, ;r]) ;
ùj(x) = {-1- 1 } si X appartient au demi-cercle (p = 1, 0 e] - k, ü]).
Q
©
Figure 7.2- Quatre orbites pour un ensemble-limite.
Il y a donc trois ensembles-limites possibles : {-1}, |-i-l} et F.
Les deux premiers sont des équilibres donc des orbites, mais F n’est plus une
orbite. Plus précisément, F est la réunion de 4 orbites, correspondant à 6 > = 0,
0 < 6 < TT, 0 = T T el -TT < 0 < 0 .
On retiendra qu'un ensemble-limite peut ne pas être une orbite.
De la même façon que nous avons défini l’ensemble cu-limite co(x), on peut définir
par inversion du temps l’ensemble or-limite or(x) : a{x) = H
jc) , s < t)
t<0
a et ¿Ü, première et dernière lettre de l’alphabet grec, sont des symboles classiques
du commencement et de la fin. Nous les avons déjà utilisés pour les équilibres en fin
du §3.2.1.
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O c D
Q
kD
O
rs]
x :
oi
>Q .
O
U
2. Même exemple, mais avec n > 0. Dans ce cas, les arcs de trajectoire sont des
branches infinies de spirale. Fermés, ils coïncident avec leur adhérence.
Leur intersection est vide, sauf pour x = 0.
En résumé : <^(0) = {0} et ùj{x ) = cp pour xi^O.
lp{\ -p)^
3. Dans le système plan décrit par
en coordonnées polaires, l’ensemble H
^ d est pour p différent de 0 et de 1 la réunion d’un arc de
/>0
spirale et du cercle unité F. Pour p = 1, il s’agit du cercle unité, et pour p = 0 du
point {0}.
En conclusion : ¿ü(0) = {0} et < jj{x) = F pour xi^{).
F est lui-même une orbite correspondant à une trajectoire périodique. On
dit que c’est un cycle-limite, notion sur laquelle nous reviendrons au paragraphe 7.2.2. La figure 7.1 .b représente un portrait de phases du système.
Dans ces trois premiers exemples, un ensemble-limite est toujours une orbite.
L’exemple 4 montre que ce n’est pas toujours le cas.
4. Modifions comme suit l’exemple 3 : on se place sur Fl = R-*. Un point x donné
du plan emprunte la même orbite dans le même sens que dans l’exemple précédent, mais à vitesse linéaire ||x|| = |x- l|.|x-i-1|. On constate alors que :
ù){x) = F s\ ||x|| 1 ;
cj(x) = {-1} si X appartient au demi-cercle {p = 1, 6 ^ e]0, ;r]) ;
ùj(x) = {-1- 1 } si X appartient au demi-cercle (p = 1, 0 e] - k, ü]).
Q
©
Figure 7.2- Quatre orbites pour un ensemble-limite.
Il y a donc trois ensembles-limites possibles : {-1}, |-i-l} et F.
Les deux premiers sont des équilibres donc des orbites, mais F n’est plus une
orbite. Plus précisément, F est la réunion de 4 orbites, correspondant à 6 > = 0,
0 < 6 < TT, 0 = T T el -TT < 0 < 0 .
On retiendra qu'un ensemble-limite peut ne pas être une orbite.
De la même façon que nous avons défini l’ensemble cu-limite co(x), on peut définir
par inversion du temps l’ensemble or-limite or(x) : a{x) = H
jc) , s < t)
t<0
a et ¿Ü, première et dernière lettre de l’alphabet grec, sont des symboles classiques
du commencement et de la fin. Nous les avons déjà utilisés pour les équilibres en fin
du §3.2.1.
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