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13
Û
ю
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Гч1
(у)
>.
C L
о
и
Si Гоп appelle S le système miroir de S , c’est-à-dire le système x = -/(x ), les
propriétés de S et de 5 s’échangent par inversion du temps. Ainsi :
• les ensembles a-limites de S sont les ensembles iu-limites de S ;
• les ensembles u>-limites de S sont les ensembles a-limites de S .
Si O r b ^ (x ) e s t b o r n é , co(x) + 0
Supposons que l’orbite de x soit bornée pour t >0.
Alors, l’ensemble {ф(п, x) ; n G N} est :
• soit fini ; mais dans ce cas, il existe m G M tel que ф{т, x) soit « répété » une
infinité de fois. Alors, oj{x) contient ф{т, x).
• soit infini ; comme il appartient à un ensemble compact, il possède un point d’accumulation, qui appartient par définition à ¿u(x).
Dans les deux cas, ¿u(x) n^estpas vide.
Ce résultat vaut pour x G Í2 c R", quelle que soit la dimension n du système.
Remarque
Nous n’excluons pas le cas d’une orbite non bornée pour t < 0. C’est le cas par
exemple du point 1 pour le système x= -x sur R. C’est également le cas s’il y a à un
instant déterminé une naissance implosive du type rencontré au paragraphe 1.2.1.
Si Orb^(x) n’est pas borné, со{х) peut être vide, comme l’a déjà montré l’exemple 2
d’ensemble-limite. Mais со{х) peut aussi être non-vide, ce qui est le sujet de l’exercice
suivant.
Chapitre 7 • Structuration du flot
C o n n e x ité d e s e n s e m b l e s lim ite s
Un ensemble-limite peut être :
• connexe : nous en avons déjà vu plusieurs exemples ;
^x\
non-connexe : par exemple, dans
le système
X
1 -1
1 4 \ y j
a pour trajectoires des spirales logarithmiques centrifuges de centre 0.
Si on pose Z = arctan^, les trajectoires du système ayant pour état
(avec
Z e] -
| [ ) sont de type spiral, et s’approchent alternativement des droites z = f
et Z = - f . L’ensemble limite de tout point non nul est la réunion de ces deux
droites, qui n’est pas connexe (figure 7.3).
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Si Гоп appelle S le système miroir de S , c’est-à-dire le système x = -/(x ), les
propriétés de S et de 5 s’échangent par inversion du temps. Ainsi :
• les ensembles a-limites de S sont les ensembles iu-limites de S ;
• les ensembles u>-limites de S sont les ensembles a-limites de S .
Si O r b ^ (x ) e s t b o r n é , co(x) + 0
Supposons que l’orbite de x soit bornée pour t >0.
Alors, l’ensemble {ф(п, x) ; n G N} est :
• soit fini ; mais dans ce cas, il existe m G M tel que ф{т, x) soit « répété » une
infinité de fois. Alors, oj{x) contient ф{т, x).
• soit infini ; comme il appartient à un ensemble compact, il possède un point d’accumulation, qui appartient par définition à ¿u(x).
Dans les deux cas, ¿u(x) n^estpas vide.
Ce résultat vaut pour x G Í2 c R", quelle que soit la dimension n du système.
Remarque
Nous n’excluons pas le cas d’une orbite non bornée pour t < 0. C’est le cas par
exemple du point 1 pour le système x= -x sur R. C’est également le cas s’il y a à un
instant déterminé une naissance implosive du type rencontré au paragraphe 1.2.1.
Si Orb^(x) n’est pas borné, со{х) peut être vide, comme l’a déjà montré l’exemple 2
d’ensemble-limite. Mais со{х) peut aussi être non-vide, ce qui est le sujet de l’exercice
suivant.
Chapitre 7 • Structuration du flot
C o n n e x ité d e s e n s e m b l e s lim ite s
Un ensemble-limite peut être :
• connexe : nous en avons déjà vu plusieurs exemples ;
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non-connexe : par exemple, dans
le système
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a pour trajectoires des spirales logarithmiques centrifuges de centre 0.
Si on pose Z = arctan^, les trajectoires du système ayant pour état
(avec
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| [ ) sont de type spiral, et s’approchent alternativement des droites z = f
et Z = - f . L’ensemble limite de tout point non nul est la réunion de ces deux
droites, qui n’est pas connexe (figure 7.3).
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