7.1. Ensembles-limites
Az
Figure 7.3- Un ensemble-limite non connexe.
T J
O
c
rj
û
kD
O
rs]
ai
>•
Q.
O
U
Exercice 7.2 Orbite non-bornée et ensemble-limite
Bâtir un exemple (distinct de celui de la figure 7.3) de système dont tous les états x
ont :
• une orbite à temps positifs Orb^(x) non-bornée ;
• un ensemble-limite a>{x) non-vide.
Il y a toutefois un résultat important si O rb ^ ixo ) est borné. Supposons ¿u(xo)
réunion de deux fermés disjoints A et B.
Comme Orb^{xQ) est borné, cl>(x q ) l’est aussi, donc aussi A et B, qui sont par
conséquent compacts. Soit d leur distance : d = inf Ili/ - z||.
(y,z)€AxB
La trajectoire x(t) de xq approche A à moins de d/3, puis B à moins de J/3, à
nouveau A, ceci une infinité de fois.
Entre deux approches successives de A puis B, la fonction t i-^ d[x{t), A], prend
toutes les valeurs comprises entre d/3 et 2d/3. Etant continue, elle prend à chaque
trajet entre A B slu moins une fois la valeur d/2.
û
©
Soit (Xn)neN* la suite des valeurs de x correspondantes. L’ensemble (x„), infini et
borné, possède un point d’accumulation .r* qui en raison de sa définition appartient à
îu(j:o)- Or, ce point est à la distance dj2 de A et donc par inégalité triangulaire, à une
distance au moins d jl de B. Or, il appartient nécessairement à l’un ou l’autre de ces
ensembles, dont la réunion est 6u(xo). Ceci n’est possible que si d = 0.
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