Chapitre 7 • Structuration du flot
Mais alors, par compacité de A et B, il existe e A et z ^ B tels que d{y, z) = 0,
d'où y = z: dès lors, A et fi ne sont pas disjoints, ce qui contredit l’hypothèse initiale.
Comme îu(^q) ne peut pas être réunion de deux fermés disjoints, il est connexe.
En conclusion :
Soit le système x = f{x), défini sur il c
/ étant localement lipschitzienne.
Soit xo e Çl. Si Orb'^ixo) est borné, l’ensemble-limite
est connexe.
■a
O c D
Û
«JD
t H
O
CM
(y)
4-1
X I
ai
>C L
O
U
E n s e m b le s - lim ite s s u r R
En dimension 1, les ensembles-limites sont faciles à caractériser. Soit en effet le système X = f(x), défini sur Î2, domaine (donc intervalle) de R. Soit xq e Î2. On note
x(t) = (pit, xo). D’après le théorème de Cauchy, la fonction x i-^ x(t) est monotone.
Par conséquent :
• si Orb'^ de jTo n’est pas borné, on a nécessairement lim x(t) = ±oo, ce qui implique
t—^oo
ùj(xo) = 0 ;
• si Orb^ de xo est borné, il existe une limite a = lim x(t). Alors, 6ü(.ro) = {a}.
t ^ o o
En résumé : en dimension 1, un ensemble-limite ne peut être que V ensem ble vide ou
un singleton.
Les e n s e m b le s - lim i te s n e s o n t p a s n é c e s s a i r e m e n t d is jo in ts
Dans l’exemple 4 d’ensemble-limite défini plus haut (figure 7.2) :
• rensemble-limite d’un point non nul hors du cercle unité est le cercle unité ;
• r ensemble-limite du point +1 est {-fl}.
Ce deuxième ensemble-limite est inclus strictement dans le premier.
In v a ria n c e d e s e n s e m b le s - lim i te s p a r le flo t
Soient .r G Î2, y e îu (x) et z appartenant à l’orbite de y, c’est-à-dire : 3 r E J {y) tel
que Z = 0(t, y). Une fois r ainsi fixé (notons qu’il n’est pas nécessairement positif),
pour tout voisinage
de z, 0~^(t, V^) est un voisinage Vy de y, ceci par continuité de
l’application v i-^ 0(r, v) (continuité du flot, § 2.1.2). Mais, comme y G îu(x), il existe
une suite croissante de temps {tn)n€^ tendant vers l’infini tels que "in G N, 0(
x) G
Vy. Il en résulte, d’après la définition de Vy, que :
Vn G N, 0(r„ + T, x) eV ^, ce qui montre que z G oj(x).
XT
,
^
1
/ X
Nous venons de montrer que
^ w x r
^ ^ ^(x)
^
z e Orb(y) J
En conclusion : tout ensem ble-lim ite est invariant p a r le flo t.
102
Mais alors, par compacité de A et B, il existe e A et z ^ B tels que d{y, z) = 0,
d'où y = z: dès lors, A et fi ne sont pas disjoints, ce qui contredit l’hypothèse initiale.
Comme îu(^q) ne peut pas être réunion de deux fermés disjoints, il est connexe.
En conclusion :
Soit le système x = f{x), défini sur il c
/ étant localement lipschitzienne.
Soit xo e Çl. Si Orb'^ixo) est borné, l’ensemble-limite
est connexe.
■a
O c D
Û
«JD
t H
O
CM
(y)
4-1
X I
ai
>C L
O
U
E n s e m b le s - lim ite s s u r R
En dimension 1, les ensembles-limites sont faciles à caractériser. Soit en effet le système X = f(x), défini sur Î2, domaine (donc intervalle) de R. Soit xq e Î2. On note
x(t) = (pit, xo). D’après le théorème de Cauchy, la fonction x i-^ x(t) est monotone.
Par conséquent :
• si Orb'^ de jTo n’est pas borné, on a nécessairement lim x(t) = ±oo, ce qui implique
t—^oo
ùj(xo) = 0 ;
• si Orb^ de xo est borné, il existe une limite a = lim x(t). Alors, 6ü(.ro) = {a}.
t ^ o o
En résumé : en dimension 1, un ensemble-limite ne peut être que V ensem ble vide ou
un singleton.
Les e n s e m b le s - lim i te s n e s o n t p a s n é c e s s a i r e m e n t d is jo in ts
Dans l’exemple 4 d’ensemble-limite défini plus haut (figure 7.2) :
• rensemble-limite d’un point non nul hors du cercle unité est le cercle unité ;
• r ensemble-limite du point +1 est {-fl}.
Ce deuxième ensemble-limite est inclus strictement dans le premier.
In v a ria n c e d e s e n s e m b le s - lim i te s p a r le flo t
Soient .r G Î2, y e îu (x) et z appartenant à l’orbite de y, c’est-à-dire : 3 r E J {y) tel
que Z = 0(t, y). Une fois r ainsi fixé (notons qu’il n’est pas nécessairement positif),
pour tout voisinage
de z, 0~^(t, V^) est un voisinage Vy de y, ceci par continuité de
l’application v i-^ 0(r, v) (continuité du flot, § 2.1.2). Mais, comme y G îu(x), il existe
une suite croissante de temps {tn)n€^ tendant vers l’infini tels que "in G N, 0(
x) G
Vy. Il en résulte, d’après la définition de Vy, que :
Vn G N, 0(r„ + T, x) eV ^, ce qui montre que z G oj(x).
XT
,
^
1
/ X
Nous venons de montrer que
^ w x r
^ ^ ^(x)
^
z e Orb(y) J
En conclusion : tout ensem ble-lim ite est invariant p a r le flo t.
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