7.1. Ensembles-limites
Orb {y)
co(x)
Figure 7.5- Orb(y) est inclus dans ùj(x).
• L’invariance est bilatérale (concerne le passé et le futur) : si co{x) contient un point,
il contient aussi la totalité de ses ascendants et de ses descendants.
• Tout ensemble-limite est la réunion des orbites de ses points. Nous avions déjà fait
cette constatation sur l’exemple 4 d’ensemble-limite (figure 7.2), que nous avions
précisément identifié comme étant la réunion de 4 orbites.
T r a n s itiv ité d e s e n s e m b le s - lim i te s
Cette propriété se déduit presque immédiatement de la précédente. Soient en effet
y 6 C jl >(x) et z e ùj(y). Pour tout n e N*, il existe un temps tel que
y), que nous
noterons yn, appartienne à la boule ouverte
\/n).
■a O c D
Q
D
tH
O
rM
(y)
xz
gi
>Q .
O
U
0)(y>
Figure 7.6- La transitivité des ensembles-limites.
Comme y,j G Orb{y) et que y G cx){x), on a
G oj(x) d’après le paragraphe
précédent. Donc, !B{z, l/n) étant un voisinage de
il existe tn > n tel que
x) G
!B(z, \/n). Comme la suite tn tend vers +oo, on a z g ùj(x).
En conclusion, on a la propriété de transitivité :
y G ùj(x) et z ^ cü(y) = > Z e cü(x).
Rassemblons les deux dernières propriétés établies :
Q
©
Tout ensemble-limite
• est la réunion des orbites de ses points (invariance) ;
• contient les ensembles-limites de ses points (transitivité).
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