Chapitre 7 • Structuration du flot
Notons que la première assertion traduit l’égalité de deux ensembles, alors que
la deuxième traduit une inclusion, qui peut être stricte comme l’a déjà montré
l’exemple 4 d’ensemble-limite.
r
Exercice 7.3 Point isolé d’un ensemble-limite
Soit S un système localement lipschitzien dans H c
et zo ^
Montrer que si a est un point isolé de l’ensemble-limite oj(zo)^ alors îu(zo) = M -
L ’exercice suivant établit un résultat plus général.
Exercice 7.4 Composantes connexes d’un ensemble-limite
Soit S un système localement lipschitzien dans H c R'^, et zo ^
Montrer que si cu(zo) possède plusieurs composantes connexes, aucune n’est
compacte.
Ce résultat généralise le résultat de l ’exercice précédent.
T J
O
c
rj
û
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
7 . 2
O r b i t e s p é r i o d i q u e s
7.2.1 G é n é r a l i t é s
On appelle période de la trajectoire / ^ x{t) définie pour tout t réel, ou indifféremment période de l’orbite correspondante le plus petit T positif tel que pour tout
t e Ж, x{t T) = x{t). On parle alors de trajectoire périodique ou d’orbite périodique, notions que nous avons déjà rencontrées sans nous y attarder, par exemple
avec l’oscillateur harmonique. Une trajectoire périodique est aussi appelée cycle.
R e m a r q u e s
1. Dans un sens un peu plus large que celui de notre définition, on peut aussi appeler période tout multiple entier positif de 7; dans ce cas, on nomme période
primitive le réel T défini en début de paragraphe.
2. Notre définition exclut les équilibres, bien que la trajectoire d’un équilibre xo satisfasse Vr 6 R, V7 e R+ , x{t) = x{t + T) = xq : en effet, comme tout T positif convient,
leur ensemble n’a pas de plus petit élément. Néanmoins, il peut arriver pour la
simplicité de certains énoncés que l’on considère un équilibre comme une orbite
de période T.
S ta b ilité d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
Une orbite périodique Г est stable si elle est stable en tant qu’ensemble (voir le
§ 3.3.1), donc si pour tout voisinage V de Г, il existe un voisinage W de F tel que si
.T appartient à W, ses descendants restent dans V. Notons que W est nécessairement
inclus dans V. En écriture abrégée : x e W
Vt > 0,
Notons que la première assertion traduit l’égalité de deux ensembles, alors que
la deuxième traduit une inclusion, qui peut être stricte comme l’a déjà montré
l’exemple 4 d’ensemble-limite.
r
Exercice 7.3 Point isolé d’un ensemble-limite
Soit S un système localement lipschitzien dans H c
et zo ^
Montrer que si a est un point isolé de l’ensemble-limite oj(zo)^ alors îu(zo) = M -
L ’exercice suivant établit un résultat plus général.
Exercice 7.4 Composantes connexes d’un ensemble-limite
Soit S un système localement lipschitzien dans H c R'^, et zo ^
Montrer que si cu(zo) possède plusieurs composantes connexes, aucune n’est
compacte.
Ce résultat généralise le résultat de l ’exercice précédent.
T J
O
c
rj
û
Ю
O
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ai
>C L
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U
7 . 2
O r b i t e s p é r i o d i q u e s
7.2.1 G é n é r a l i t é s
On appelle période de la trajectoire / ^ x{t) définie pour tout t réel, ou indifféremment période de l’orbite correspondante le plus petit T positif tel que pour tout
t e Ж, x{t T) = x{t). On parle alors de trajectoire périodique ou d’orbite périodique, notions que nous avons déjà rencontrées sans nous y attarder, par exemple
avec l’oscillateur harmonique. Une trajectoire périodique est aussi appelée cycle.
R e m a r q u e s
1. Dans un sens un peu plus large que celui de notre définition, on peut aussi appeler période tout multiple entier positif de 7; dans ce cas, on nomme période
primitive le réel T défini en début de paragraphe.
2. Notre définition exclut les équilibres, bien que la trajectoire d’un équilibre xo satisfasse Vr 6 R, V7 e R+ , x{t) = x{t + T) = xq : en effet, comme tout T positif convient,
leur ensemble n’a pas de plus petit élément. Néanmoins, il peut arriver pour la
simplicité de certains énoncés que l’on considère un équilibre comme une orbite
de période T.
S ta b ilité d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
Une orbite périodique Г est stable si elle est stable en tant qu’ensemble (voir le
§ 3.3.1), donc si pour tout voisinage V de Г, il existe un voisinage W de F tel que si
.T appartient à W, ses descendants restent dans V. Notons que W est nécessairement
inclus dans V. En écriture abrégée : x e W
Vt > 0,