7.2. Orbites périodiques
Une orbite qui n’est pas stable est dite (devinez !) instable.
Un exemple de stabilité : pour le système plan décrit par
fp\ / p ( i - p ) ' en coordonnées polaires, le cercle unité F déjà donné comme exemple (voir figure 7.1.b)
est une orbite périodique stable de période In : les trajectoires sont, à l’exception
de r et de {0}, des spirales se rapprochant de F.
Un exemple d’instabilité : pour le système plan décrit par
|
j »
F demeure une orbite périodique mais n’est plus stable : les trajectoires intérieures
à F (sauf (0)) s’en rapprochent, mais les trajectoires extérieures s’en écartent
(p > 0).
•a
O c
13
Û
kD 1 -H
O
r s j
(y)
C T
>Q .
O
U
a) A ttr a c tiv ité d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
Une orbite périodique F est attractive (voir le § 3.3.2) si elle attire un de ses voisinages. Détaillons pour mémoire cette définition : F est attractive s’il existe un voisinage W dt F tel que pour tout x appartenant à W, les descendants de x se rapprochent
arbitrairement près de F, c’est-à-dire : lim d[(/){t, x), F] - 0.
>oo
Cette définition sous-entend l’existence, pour tout r > 0, de (/)(t, x) : il n’y a donc
pas de mort explosive, l’état évolue continuellement dans le domaine H de définition.
Nous rappelons que la distance d’un point y à l’ensemble A est d(y, A) = inf d(y, z).
z&A
Nous constatons la ressemblance formelle entre les notions d’orbite attractive et
d’équilibre attractif.
Le bassin d’attraction de l’orbite périodique F, noté Att(F), est l’ensemble des
points attirés par F, c’est-à-dire : Att(F) = i^y e Q; lim d \
y), F] = o|
Les exemples ci-avant amènent ainsi deux remarques :
I / p ( i - p y
1. Le cercle unité P, orbite périodique du système plan
est atQ
©
tractif. Son bassin d’attraction est le plan privé de l’élément {0} ; ce bassin est
un voisinage de F. Plus généralement, une orbite périodique est attractive si et
seulement si elle admet son bassin d’attraction comme voisinage.
2. Pour le système plan
^
j, le bassin d’attraction du cercle unité
F se réduit cette fois au disque unité pointé (0 < p < 1); ce n’est plus un
voisinage de F. L’orbite périodique F n’est donc pas attractive. Le fait de posséder un bassin d’attraction de mesure non-nulle n’est donc pas une condition
suffisante d’attractivité.
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Une orbite qui n’est pas stable est dite (devinez !) instable.
Un exemple de stabilité : pour le système plan décrit par
fp\ / p ( i - p ) ' en coordonnées polaires, le cercle unité F déjà donné comme exemple (voir figure 7.1.b)
est une orbite périodique stable de période In : les trajectoires sont, à l’exception
de r et de {0}, des spirales se rapprochant de F.
Un exemple d’instabilité : pour le système plan décrit par
|
j »
F demeure une orbite périodique mais n’est plus stable : les trajectoires intérieures
à F (sauf (0)) s’en rapprochent, mais les trajectoires extérieures s’en écartent
(p > 0).
•a
O c
13
Û
kD 1 -H
O
r s j
(y)
C T
>Q .
O
U
a) A ttr a c tiv ité d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
Une orbite périodique F est attractive (voir le § 3.3.2) si elle attire un de ses voisinages. Détaillons pour mémoire cette définition : F est attractive s’il existe un voisinage W dt F tel que pour tout x appartenant à W, les descendants de x se rapprochent
arbitrairement près de F, c’est-à-dire : lim d[(/){t, x), F] - 0.
>oo
Cette définition sous-entend l’existence, pour tout r > 0, de (/)(t, x) : il n’y a donc
pas de mort explosive, l’état évolue continuellement dans le domaine H de définition.
Nous rappelons que la distance d’un point y à l’ensemble A est d(y, A) = inf d(y, z).
z&A
Nous constatons la ressemblance formelle entre les notions d’orbite attractive et
d’équilibre attractif.
Le bassin d’attraction de l’orbite périodique F, noté Att(F), est l’ensemble des
points attirés par F, c’est-à-dire : Att(F) = i^y e Q; lim d \
y), F] = o|
Les exemples ci-avant amènent ainsi deux remarques :
I / p ( i - p y
1. Le cercle unité P, orbite périodique du système plan
est atQ
©
tractif. Son bassin d’attraction est le plan privé de l’élément {0} ; ce bassin est
un voisinage de F. Plus généralement, une orbite périodique est attractive si et
seulement si elle admet son bassin d’attraction comme voisinage.
2. Pour le système plan
^
j, le bassin d’attraction du cercle unité
F se réduit cette fois au disque unité pointé (0 < p < 1); ce n’est plus un
voisinage de F. L’orbite périodique F n’est donc pas attractive. Le fait de posséder un bassin d’attraction de mesure non-nulle n’est donc pas une condition
suffisante d’attractivité.
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