Chapitre 7 • Structuration du flot
Pour le système x = f(x), une orbite périodique répulsive et son bassin de répulsion
sont une orbite attractive et son bassin d’attraction, relativement au système miroir
X = -f{ x ). Ces notions s’apparentent aux notions analogues définies pour les équilibres. Le bassin de répulsion de F est noté Rep{F).
S ta b ilité a s y m p t o t i q u e d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
V
A l’image de ce que nous avons fait pour les équilibres, nous qualifions d’asymptotiquement stable une orbite périodique qui est en même temps stable et attractive.
Remarquons qu’aucune des deux qualités n’entraîne l’autre. Toute orbite (en dehors
de l’équilibre) de l’oscillateur harmonique est un exemple simple d’orbite périodique
stable non attractive. On dispose parallèlement avec le cercle 6^ = 0 de la figure 7.7
d’un exemple d’orbite à la fois attractive^ répulsive et instable : l’espace des états est
{ 0=0 (271 — 0 )
1
’
(p = 1
0 (rotation autour de l’axe vertical du tore) et (p étant les angles habituels de paramétrage du tore.
I
T J
O c D
û
Ю
O
rs]
ai
>•
Q .
O
U
Figure 7.7- Une orbite attractive, répulsive et instable.
Si l’on réduit à 1 la dimension du système en fixant on obtient qualitativement l’équilibre attractif et répulsif qui fera l’objet du paragraphe 8.2.2 au chapitre 8.
7 .2 .2 C y c l e s - l i m i t e s
On appelle cycle-limite ou cycle cu-limite une orbite périodique F qui est l’ensemblelimite d’au moins un point n’appartenant pas à F.
On appelle cycle cr-limite un cycle q>-limite du système miroir x = - f( x ) .
Exemples et contre-exemples
1. Dans le système plan décrit par |^| =
en coordonnées polaires (voir
figure 7.1.b, le cercle unité r est ensemble-limite de tout point du plan autre
que l’origine, qui est un équilibre, r est un cycle limite.
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Pour le système x = f(x), une orbite périodique répulsive et son bassin de répulsion
sont une orbite attractive et son bassin d’attraction, relativement au système miroir
X = -f{ x ). Ces notions s’apparentent aux notions analogues définies pour les équilibres. Le bassin de répulsion de F est noté Rep{F).
S ta b ilité a s y m p t o t i q u e d ’u n e o r b ite p é r io d iq u e
V
A l’image de ce que nous avons fait pour les équilibres, nous qualifions d’asymptotiquement stable une orbite périodique qui est en même temps stable et attractive.
Remarquons qu’aucune des deux qualités n’entraîne l’autre. Toute orbite (en dehors
de l’équilibre) de l’oscillateur harmonique est un exemple simple d’orbite périodique
stable non attractive. On dispose parallèlement avec le cercle 6^ = 0 de la figure 7.7
d’un exemple d’orbite à la fois attractive^ répulsive et instable : l’espace des états est
{ 0=0 (271 — 0 )
1
’
(p = 1
0 (rotation autour de l’axe vertical du tore) et (p étant les angles habituels de paramétrage du tore.
I
T J
O c D
û
Ю
O
rs]
ai
>•
Q .
O
U
Figure 7.7- Une orbite attractive, répulsive et instable.
Si l’on réduit à 1 la dimension du système en fixant on obtient qualitativement l’équilibre attractif et répulsif qui fera l’objet du paragraphe 8.2.2 au chapitre 8.
7 .2 .2 C y c l e s - l i m i t e s
On appelle cycle-limite ou cycle cu-limite une orbite périodique F qui est l’ensemblelimite d’au moins un point n’appartenant pas à F.
On appelle cycle cr-limite un cycle q>-limite du système miroir x = - f( x ) .
Exemples et contre-exemples
1. Dans le système plan décrit par |^| =
en coordonnées polaires (voir
figure 7.1.b, le cercle unité r est ensemble-limite de tout point du plan autre
que l’origine, qui est un équilibre, r est un cycle limite.
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