7.3, Variétés remarquables
2. L’exemple 4 d’ensemble-limite défini par la figure 7.2 est encore le cercle
unité : il est ensemble limite de tout point du plan autre que -1, 0 ou 1. Mais,
n’étant pas une orbite, ce n’est pas un cycle-limite.
3. Les orbites du système plan
“ ( x)
toutes périodiques. Ce sont des
cercles de centre O. Toute orbite F est ensemble-limite de tous ses points,
mais d’aucun point ne lui appartenant pas. Les orbites ne sont donc pas des
cycles limites.
Exercice 7.5 Un cas d ’absence de cycles
On montre qu’en dimension 2, tout voisinage d ’un équilibre simplement stable isolé
contient une infinité de cycles. Le but du présent exercice est de montrer que cette
assertion est fausse en dimension au moins égale à 4.
On considère dans
(n > 4) le système linéaire S suivant : x = A x, avec :
A = diag(/?, a R, -1 , • • • , -1 ), où or est un réel positif et R =
^0 - V
A 0
{ n — 4 ) f o i s
1. Vérifier que 0 est un équilibre simplement stable isolé.
2. Montrer que pour un choix convenable de a le flot ne présente aucun cycle.
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
ai
>Q .
O
U
Q
©
7 . 3
V a r i é t é s r e m a r q u a b l e s
Équilibres et orbites périodiques sont les éléments de structuration les plus simples
d’un portrait de phases, mais ne sont pas les seuls. Nous avons en effet déjà identifié,
dans le cas de systèmes linéaires, certaines parties remarquables de O =
: les
sous-espaces stable Es, central Ec et instable E^.
Dans le cas d’un équilibre hyperbolique, nous retrouvons les espaces Eg et E^
par le biais des notions d’attractivité et de répulsivité. Soit par exemple l’équilibre
hyperbolique 0 d’un système linéaire de dimension 2. Il y a trois cas :
• Si l’indice du système est (2, 0, 0), le bassin d’attraction de 0 est R^, le bassin de
répulsion {0} ;
• Si l’indice du système est (1, 0, 1), le bassin d’attraction de 0 est une droite vectorielle (hyperplan de R^), son bassin de répulsion une autre droite. Notons que
chacune de ces droites est la réunion de trois orbites : deux demi-droites et l’équilibre 0 ;
• Si l’indice du système est (0, 0, 2), le bassin d’attraction de 0 est {0}, le bassin de
répulsion R^.
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2. L’exemple 4 d’ensemble-limite défini par la figure 7.2 est encore le cercle
unité : il est ensemble limite de tout point du plan autre que -1, 0 ou 1. Mais,
n’étant pas une orbite, ce n’est pas un cycle-limite.
3. Les orbites du système plan
“ ( x)
toutes périodiques. Ce sont des
cercles de centre O. Toute orbite F est ensemble-limite de tous ses points,
mais d’aucun point ne lui appartenant pas. Les orbites ne sont donc pas des
cycles limites.
Exercice 7.5 Un cas d ’absence de cycles
On montre qu’en dimension 2, tout voisinage d ’un équilibre simplement stable isolé
contient une infinité de cycles. Le but du présent exercice est de montrer que cette
assertion est fausse en dimension au moins égale à 4.
On considère dans
(n > 4) le système linéaire S suivant : x = A x, avec :
A = diag(/?, a R, -1 , • • • , -1 ), où or est un réel positif et R =
^0 - V
A 0
{ n — 4 ) f o i s
1. Vérifier que 0 est un équilibre simplement stable isolé.
2. Montrer que pour un choix convenable de a le flot ne présente aucun cycle.
■a
O c D
Q
kD
O
rs]
ai
>Q .
O
U
Q
©
7 . 3
V a r i é t é s r e m a r q u a b l e s
Équilibres et orbites périodiques sont les éléments de structuration les plus simples
d’un portrait de phases, mais ne sont pas les seuls. Nous avons en effet déjà identifié,
dans le cas de systèmes linéaires, certaines parties remarquables de O =
: les
sous-espaces stable Es, central Ec et instable E^.
Dans le cas d’un équilibre hyperbolique, nous retrouvons les espaces Eg et E^
par le biais des notions d’attractivité et de répulsivité. Soit par exemple l’équilibre
hyperbolique 0 d’un système linéaire de dimension 2. Il y a trois cas :
• Si l’indice du système est (2, 0, 0), le bassin d’attraction de 0 est R^, le bassin de
répulsion {0} ;
• Si l’indice du système est (1, 0, 1), le bassin d’attraction de 0 est une droite vectorielle (hyperplan de R^), son bassin de répulsion une autre droite. Notons que
chacune de ces droites est la réunion de trois orbites : deux demi-droites et l’équilibre 0 ;
• Si l’indice du système est (0, 0, 2), le bassin d’attraction de 0 est {0}, le bassin de
répulsion R^.
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