Chapitre 7 • Structuration du flot
•a
O c
13
û
y£ > I
O r\l
(y)
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C L
O
U
Les six bassins ainsi définis sont des sous-espaces vectoriels de dimensions 0 à 2,
donc des variétés différentielles de classe
de
Ces variétés ne sont autres que
Es et En si la dimension des bassins est non-nulle.
On peut pressentir que, dans le cas d’un système n on -lin éaire S d’espace d’état El
de dimension quelconque, ce constat demeurera valide, à condition de remplacer Es
et Eu par des variétés convenablement définies. En effet, au voisinage d’un équilibre
hyperbolique de 5, le théorème de Hartman-Grobman garantit une conjugaison avec
le système linéarisé S i , et l’homéomorphisme de 5^ vers S transforme Es et Eu, au
voisinage de l’équilibre, en parties remarquables de O.
On établit effectivement les deux théorèmes énoncés ci-après qui vont plus loin que
ce qu’on pouvait déjà espérer de l’utilisation du théorème de Hartman-Grobman :
• d’une part parce que le premier d’entre eux met enjeu des équilibres quelconques,
alors que le théorème de Hartman-Grobman implique seulement les équilibres hyperboliques ;
• d’autre part parce qu’ils sont de nature globale, et pas seulement locale.
On trouvera leur démonstration, assez technique, dans des ouvrages plus détaillés.
Les notations sont les mêmes pour les deux théorèmes : a est un équilibre du
système x = f{x) défini sur un domaine El c R '\ où / € C^{El\ avec p > 2.
Nous rappelons que si Es, Ec et Eu sont les sous-espaces stable, central et instable
du système linéarisé en a, nous avons R'* = Es 0 E^ 0 Eu.
1® ** théorème des variétés remarquables (équilibre quelconque)
Il existe dans Q des variétés dites variété stable Vs(a), centrale Vc(a) et instable
Vu (a) de a, dont les sous-espaces affines tangents en a sont respectivement parallèles à Es, Ec et Eu. Ces variétés sont invariantes par le flot.
Dans le cas où l’équilibre a est hyperbolique, la variété centrale disparaît et on a le
résultat ;
2® théorème des variétés remarquables (équilibre hyperbolique)
• Vs(à) et Vu(a) sont respectivement le bassin d’attraction et le bassin de répulsion de a : Vs(a) = Att{a), Vu(a) = Rep(a).
• Le sous-espace affine tangent en a à Vs(a) (resp. Vu(a)) est le translaté de Es
(resp. Eu) passant par a.
La deuxième assertion de ce théorème complète les dispositions du 1® *" théorème.
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Les six bassins ainsi définis sont des sous-espaces vectoriels de dimensions 0 à 2,
donc des variétés différentielles de classe
de
Ces variétés ne sont autres que
Es et En si la dimension des bassins est non-nulle.
On peut pressentir que, dans le cas d’un système n on -lin éaire S d’espace d’état El
de dimension quelconque, ce constat demeurera valide, à condition de remplacer Es
et Eu par des variétés convenablement définies. En effet, au voisinage d’un équilibre
hyperbolique de 5, le théorème de Hartman-Grobman garantit une conjugaison avec
le système linéarisé S i , et l’homéomorphisme de 5^ vers S transforme Es et Eu, au
voisinage de l’équilibre, en parties remarquables de O.
On établit effectivement les deux théorèmes énoncés ci-après qui vont plus loin que
ce qu’on pouvait déjà espérer de l’utilisation du théorème de Hartman-Grobman :
• d’une part parce que le premier d’entre eux met enjeu des équilibres quelconques,
alors que le théorème de Hartman-Grobman implique seulement les équilibres hyperboliques ;
• d’autre part parce qu’ils sont de nature globale, et pas seulement locale.
On trouvera leur démonstration, assez technique, dans des ouvrages plus détaillés.
Les notations sont les mêmes pour les deux théorèmes : a est un équilibre du
système x = f{x) défini sur un domaine El c R '\ où / € C^{El\ avec p > 2.
Nous rappelons que si Es, Ec et Eu sont les sous-espaces stable, central et instable
du système linéarisé en a, nous avons R'* = Es 0 E^ 0 Eu.
1® ** théorème des variétés remarquables (équilibre quelconque)
Il existe dans Q des variétés dites variété stable Vs(a), centrale Vc(a) et instable
Vu (a) de a, dont les sous-espaces affines tangents en a sont respectivement parallèles à Es, Ec et Eu. Ces variétés sont invariantes par le flot.
Dans le cas où l’équilibre a est hyperbolique, la variété centrale disparaît et on a le
résultat ;
2® théorème des variétés remarquables (équilibre hyperbolique)
• Vs(à) et Vu(a) sont respectivement le bassin d’attraction et le bassin de répulsion de a : Vs(a) = Att{a), Vu(a) = Rep(a).
• Le sous-espace affine tangent en a à Vs(a) (resp. Vu(a)) est le translaté de Es
(resp. Eu) passant par a.
La deuxième assertion de ce théorème complète les dispositions du 1® *" théorème.
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