7.3, Variétés remarquables
Remarques
1. On désigne souvent le premier théorème comme théorème de la variété centrale,
et le second comme théorème de la variété stable ou de la variété instable.
2. Chacune des variétés et V„ est unique.
On a dim Vsia) = dim et dim V^ia) = dim
3. En revanche, lorsqu’elle existe, la variété centrale n’est pas nécessairement
unique : voir l’exemple 5 ci-après. De plus, la propriété d’attractivité ou de répulsion n’est pas utilisable pour définir la variété centrale.
4. La classe de régularité des variétés remarquables dépend de celle du flot. Si / g
C^(Q), V,{a) et Vu(a) sont de classe et Vda) de classe
5. L’ensemble des tangentes en a aux orbites (auxquelles on ajoute {a}) d’une variété remarquable V(a) [V(a) désigne Vs(a) ou Vda) ou
peut être vide, ou une
partie propre non vide de V(a), ou V(a) entière. Cette constatation fait l’objet de
l’exercice 7.6.
TD
O
c
3
Û
rH
O
(N
X I
oi
>•
Q .
O
U
Exemples
La dimension 2 suffit déjà à illustrer des cas variés.
/ JC
Dans les exemples suivants, nous avons il = et nous posons z =
û
©
y
1. Pour le système z =
la variété stable de l’équilibre hyperbolique 0
d’indice (2, 0, 0) est V,(0) = R^ la variété instable V„(0) = 0.
Ce constat se généralise à R” : pour un système linéaire asymptotiquement
stable, V,(0) = R".
2. L’équilibre 0 de è =
système hyperbolique d’indice (1, 0, 1), est un
point-selle (ou col). La variété stable de 0 est V^(0) = {0} x R. La variété instable de 0 est V„(0) = R x {0}.
VAO)
K
vjo)
Figure 7.8- Variétés remarquables d’un système linéaire 2-D.
Si on appelle x
y les composantes de z, on peut représenter par la figure 7.9 suivante quatre trajectoires : deux appartiennent à V,(0), deux à
V«(0).
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