Chapitre б • Propriétés locales du flot
a ainsi E = Eq®E\. L’idée de la démonstration est la suivante. On observe l’évolution
de xo + /z, où /z est :
• suffisamment petit pour une application efficace de la formule de Taylor-Young
à x{t) au 1® ^ ordre. Pour cela, on choisit h dans une boule ouverte B = B(xq, rf)
convenable.
• beaucoup plus près de E\ que de Eq, ce qui, hi étant la projection de h sur E/,
s’exprime \\h]\\ » \\ho\\. On privilégie ainsi l’aspect instable, ce qui empêchera de
cantonner x(t) = xq + h(t) dans un voisinage de xq. On prendra donc h dans un
ouvert C = {h ; p ilP > E||/zolP}, avec K > 0 convenablement choisi.
On satisfait les deux exigences en prenant h dans l’ouvert U = B C\ C. On vérifie
alors que x{t), tant qu’il reste dans B, s’éloigne exponentiellement de xq • ü existe un
voisinage de xq que x{t) quitte nécessairement. Par conséquent, xo est un équilibre
instable.
On a ainsi établi le deuxième volet :
X J
O c D
Q
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
. SiSpiVf,^) n {ЛI Яе{Л) > 0} Ф Ф, Xq est instable.
Ceci achève la démonstration du deuxième théorème de Liapounov.
Nous disposons ainsi de deux théorèmes dits de Liapounov qui renseignent sur la
nature des équilibres. Il faut noter que le premier théorème fait référence à une fonction de Liapounov, mais pas au spectre du système linéarisé. On peut donc a priori
en attendre une plus grande généralité, au prix toutefois d’une mise en oeuvre moins
systématique. En effet, si l’on peut généralement accéder au spectre de V /, il n’existe
en revanche pas de procédé universel de construction d’une fonction de Liapounov ;
et, nous l’avons vu, une telle fonction peut ne pas exister.
En conclusion, la nature stable ou instable d’un équilibre hyperbolique est la même
pour un système et pour son linéarisé. En revanche, pour un système non hyperbolique, tous les cas de stabilité existent, ceci dès la dimension 1.
Exemples
Pour les quatre systèmes unidimensionnels {E = R) ci-après, ;co = 0 est un équilibre
non hyperbolique, car dans tous les cas il est associé à la valeur propre 0.
1. x = -x^ : Xo est asymptotiquement stable ;
2.
0 : X o est stable (mais pas asymptotiquement stable);
3. x= X“ : X o est instable (en fait : semi-stable);
4. x= x^ : X o est instable.
Ces quatre systèmes ont le même linéarisé : x = 0, pour lequel 0 est simplement
stable.
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a ainsi E = Eq®E\. L’idée de la démonstration est la suivante. On observe l’évolution
de xo + /z, où /z est :
• suffisamment petit pour une application efficace de la formule de Taylor-Young
à x{t) au 1® ^ ordre. Pour cela, on choisit h dans une boule ouverte B = B(xq, rf)
convenable.
• beaucoup plus près de E\ que de Eq, ce qui, hi étant la projection de h sur E/,
s’exprime \\h]\\ » \\ho\\. On privilégie ainsi l’aspect instable, ce qui empêchera de
cantonner x(t) = xq + h(t) dans un voisinage de xq. On prendra donc h dans un
ouvert C = {h ; p ilP > E||/zolP}, avec K > 0 convenablement choisi.
On satisfait les deux exigences en prenant h dans l’ouvert U = B C\ C. On vérifie
alors que x{t), tant qu’il reste dans B, s’éloigne exponentiellement de xq • ü existe un
voisinage de xq que x{t) quitte nécessairement. Par conséquent, xo est un équilibre
instable.
On a ainsi établi le deuxième volet :
X J
O c D
Q
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
. SiSpiVf,^) n {ЛI Яе{Л) > 0} Ф Ф, Xq est instable.
Ceci achève la démonstration du deuxième théorème de Liapounov.
Nous disposons ainsi de deux théorèmes dits de Liapounov qui renseignent sur la
nature des équilibres. Il faut noter que le premier théorème fait référence à une fonction de Liapounov, mais pas au spectre du système linéarisé. On peut donc a priori
en attendre une plus grande généralité, au prix toutefois d’une mise en oeuvre moins
systématique. En effet, si l’on peut généralement accéder au spectre de V /, il n’existe
en revanche pas de procédé universel de construction d’une fonction de Liapounov ;
et, nous l’avons vu, une telle fonction peut ne pas exister.
En conclusion, la nature stable ou instable d’un équilibre hyperbolique est la même
pour un système et pour son linéarisé. En revanche, pour un système non hyperbolique, tous les cas de stabilité existent, ceci dès la dimension 1.
Exemples
Pour les quatre systèmes unidimensionnels {E = R) ci-après, ;co = 0 est un équilibre
non hyperbolique, car dans tous les cas il est associé à la valeur propre 0.
1. x = -x^ : Xo est asymptotiquement stable ;
2.
0 : X o est stable (mais pas asymptotiquement stable);
3. x= X“ : X o est instable (en fait : semi-stable);
4. x= x^ : X o est instable.
Ces quatre systèmes ont le même linéarisé : x = 0, pour lequel 0 est simplement
stable.
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