6.5. Linéarisation autour des équilibres hyperboliques
Définition
On appelle équilibre hyperbolique du système de classe
: x = f(x ) un
équilibre xq tel que les valeurs propres de
ne soient pas de partie réelle nulle.
Exprimé de façon équivalente :
l’équilibre xq est hyperbolique
l’endomorphisme Vest hyperbolique
(notion définie au paragraphe 4.2.3)
l’indice de
est du type (n~, 0, n'^).
6 .5 .1 D e u x i è m e t h é o r è m e d e L ia p o u n o v
Le deuxième théorème de Liapounov fait référence au système linéarisé x =
.x.
Il permet de conclure quant à la nature de l’équilibre xq si celui-ci est hyperbolique,
c’est-à-dire si le spectre de VfxQ ne rencontre pas l’axe imaginaire.
La terminologie «premier théorème» et «deuxième théorème» n ’est pas générale.
Elle est utilisée ici dans un simple souci d ’identification correcte des deux théorèmes.
Deuxième théorème de Liapounov
Soit xo un équilibre du système S (linéaire ou non) de classe C*.
• Si Sp(VA, ) c {/1 G CI ^e(^X) < 0}, Xq est asymptotiquement stable pour S .
• Si S p { V f x Q ) n {/1 G CI *Re(À) > 0} ^ 0, Xo est instable pour S .
■a O c
13
û
< £)
t H
O
(N
X I
>C L
O
U
a
@
S c h é m a d e d é m o n s t r a t i o n
Nous allons donner les points-clés d’une démonstration, sans en développer les détails techniques.
Dans un premier temps, on dote R" d’une structure euclidienne adaptée à notre
analyse. Cette structure euclidienne est étroitement associée à la base de Jordan. Elle
fait l’objet de la partie « lemme d’encadrement » de l’annexe 5. Elle assure que le
carré de la distance à l’équilibre est une fo n c tio n de L iapoun ov si le système linéarisé
est asymptotiquement stable. Dès lors, le
théorème de Liapounov nous fournit le
premier volet du 2® théorème :
• Si SpiVfxfi c |d I Ke{À) < 0}, Xo est asymptotiquement stable.
Pour l’établissement du deuxième volet, on utilise la décomposition de E =
(dans
lequel opère V/;^^) en : R” = Es ® Ec ® Eu, sous-espaces stable, central et instable,
comme nous l’avons vu au chapitre 4. Regroupons-les en Eq = E^®Ec et Ei = E^ ' , on
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Définition
On appelle équilibre hyperbolique du système de classe
: x = f(x ) un
équilibre xq tel que les valeurs propres de
ne soient pas de partie réelle nulle.
Exprimé de façon équivalente :
l’équilibre xq est hyperbolique
l’endomorphisme Vest hyperbolique
(notion définie au paragraphe 4.2.3)
l’indice de
est du type (n~, 0, n'^).
6 .5 .1 D e u x i è m e t h é o r è m e d e L ia p o u n o v
Le deuxième théorème de Liapounov fait référence au système linéarisé x =
.x.
Il permet de conclure quant à la nature de l’équilibre xq si celui-ci est hyperbolique,
c’est-à-dire si le spectre de VfxQ ne rencontre pas l’axe imaginaire.
La terminologie «premier théorème» et «deuxième théorème» n ’est pas générale.
Elle est utilisée ici dans un simple souci d ’identification correcte des deux théorèmes.
Deuxième théorème de Liapounov
Soit xo un équilibre du système S (linéaire ou non) de classe C*.
• Si Sp(VA, ) c {/1 G CI ^e(^X) < 0}, Xq est asymptotiquement stable pour S .
• Si S p { V f x Q ) n {/1 G CI *Re(À) > 0} ^ 0, Xo est instable pour S .
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S c h é m a d e d é m o n s t r a t i o n
Nous allons donner les points-clés d’une démonstration, sans en développer les détails techniques.
Dans un premier temps, on dote R" d’une structure euclidienne adaptée à notre
analyse. Cette structure euclidienne est étroitement associée à la base de Jordan. Elle
fait l’objet de la partie « lemme d’encadrement » de l’annexe 5. Elle assure que le
carré de la distance à l’équilibre est une fo n c tio n de L iapoun ov si le système linéarisé
est asymptotiquement stable. Dès lors, le
théorème de Liapounov nous fournit le
premier volet du 2® théorème :
• Si SpiVfxfi c |d I Ke{À) < 0}, Xo est asymptotiquement stable.
Pour l’établissement du deuxième volet, on utilise la décomposition de E =
(dans
lequel opère V/;^^) en : R” = Es ® Ec ® Eu, sous-espaces stable, central et instable,
comme nous l’avons vu au chapitre 4. Regroupons-les en Eq = E^®Ec et Ei = E^ ' , on
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