Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
T J
O
c
U
Q
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xz
OJ
>Q .
O
U
6 .4 .2 C h a n g e m e n t s d e c o m p o r t e m e n t p a r l i n é a r i s a t i o n
Nous allons donner deux exemples introductifs qui montrent que la linéarisation ne
conserve pas toujours la nature des équilibres.
Exemples
1. Le système de dimension 1 (jc e R) : i = possède l’équilibre unique instable
xq = 0. Son linéarisé en 0 est simplement le système x = 0, qui admet tout réel,
donc en particulier 0, comme équilibre stable. La linéarisation a donc remplacé
un équilibre instable par un équilibre stable.
2. Le système de dimension 2 suivant :
- (x + !/“)
X I
\ y
admet 0 comme équilibre unique.
La fonction F(x, ij) = x^ + if di pour dérivée temporelle F = VF.f, dont la valeur,
obtenue par un calcul très simple, est -2{x- + i / f < 0 pour z ^ 0. D’après le
théorème de Liapounov, 0 est un équilibre asymptotiquement stable.
La différentielle d e /■ est V/‘= (
l]
\-2xy+\ -3y~-x-l
Donc, V/(0) =
0 -1
1 0
. On retrouve une modélisation de l’oscillateur harmonique.
Les trajectoires sont des cercles concentriques : 0 est un équilibre stable. La linéarisation a remplacé un équilibre asymptotiquement stable pait un équilibre
simplement stable.
Portraits de phases
Système initial
Système linéarisé
Figure 6.3- Perte de la stabilité asymptotique dans l’exemple 2.
6 . 5
L i n é a r i s a t i o n a u t o u r d e s é q u i l i b r e s
H Y P E R B O L I Q U E S
Les exemples qu’on vient de donner de changement de comportement ont un point
commun : les valeurs propres de
sont de partie réelle nulle. Nous allons voir
que c’est la cause de la non-robustesse du système.
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