6.4. Linéarisation autour des équilibres
Rappelons que V /, différentielle de / , est un endomorphisme de
Si on appelle fi
les n composantes de / , il est représenté par la matrice :
V / . =
d f \ ,
„ (x) ■ ■
OX\
■ d x n
d f n ,
V OX\
d f n
■ d X n
(x)
(x)
• Si x\ est régulier, f( x \) ^ 0 : cette constante non nulle est alors la partie principale de / . On sait par le théorème du redressement qu’au voisinage de x\, le
système est le conjugué d’un système à flot constant. Le comportement local est
donc qualitativement très simple, ceci quel que soit Vfx^.
• Si en revanche x\ est un équilibre (qu’on notera alors xq), / ( xq) = 0.
Dans ce cas, f{x) = Vfxo(x - vq) + o(x - vq), expression qui conduit à la définition
ci-dessous, qui fait intervenir le « champ linéaire tangent »
ou différentielle
de f en Xq. On vient d’en rappeler l’expression matricielle.
Si vo est un équilibre du système 5, le système x = ^fxo (x — JCo) est la meilleure
approximation affine locale du système (au sens de « champ de vecteurs / ») au
voisinage de vq. Elle est de type affine, et conserve à vq son statut d’équilibre. Une
simple translation du nouvel état permet d’amener l’équilibre au point 0, d’où la
définition :
T J
O
c
= 3
Q
t H
O
fM
(y)
gj
‘s_
>.
Q.
O
U
Q
©
Soit S le système x = f(x), avec .r 6 O domaine de
et / G (O).
Le système linéarisé S ¿de S à l’équilibre jtq g O est le système d’équation :
= ^fxo M
C’est un système linéaire, dont l’équation prend la forme matricielle :
= VAo . V
Remarques
1. Si 5 est linéaire, on a x = Ax, et
= A en tout xo, donc en tout équilibre.
2. La linéarisation transforme xo, équilibre de 5, en 0 qui est nécessairement équilibre
de Si car ce nouveau système est linéaire.
3. La linéarisation n’a de valeur que locale : en particulier Si a comme espace d’états
R”, ce qui fait perdre les propriétés topologiques de Q, espace des états de 5, si
ce dernier n’est pas homéomorphe à R". C’est le cas, nous l’avons déjà vu, si l’une
des composantes de x est un angle, élément de R/Z et non de R. C’est aussi le cas
par exemple si est une couronne ouverte du plan.
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Rappelons que V /, différentielle de / , est un endomorphisme de
Si on appelle fi
les n composantes de / , il est représenté par la matrice :
V / . =
d f \ ,
„ (x) ■ ■
OX\
■ d x n
d f n ,
V OX\
d f n
■ d X n
(x)
(x)
• Si x\ est régulier, f( x \) ^ 0 : cette constante non nulle est alors la partie principale de / . On sait par le théorème du redressement qu’au voisinage de x\, le
système est le conjugué d’un système à flot constant. Le comportement local est
donc qualitativement très simple, ceci quel que soit Vfx^.
• Si en revanche x\ est un équilibre (qu’on notera alors xq), / ( xq) = 0.
Dans ce cas, f{x) = Vfxo(x - vq) + o(x - vq), expression qui conduit à la définition
ci-dessous, qui fait intervenir le « champ linéaire tangent »
ou différentielle
de f en Xq. On vient d’en rappeler l’expression matricielle.
Si vo est un équilibre du système 5, le système x = ^fxo (x — JCo) est la meilleure
approximation affine locale du système (au sens de « champ de vecteurs / ») au
voisinage de vq. Elle est de type affine, et conserve à vq son statut d’équilibre. Une
simple translation du nouvel état permet d’amener l’équilibre au point 0, d’où la
définition :
T J
O
c
= 3
Q
t H
O
fM
(y)
gj
‘s_
>.
Q.
O
U
Q
©
Soit S le système x = f(x), avec .r 6 O domaine de
et / G (O).
Le système linéarisé S ¿de S à l’équilibre jtq g O est le système d’équation :
= ^fxo M
C’est un système linéaire, dont l’équation prend la forme matricielle :
= VAo . V
Remarques
1. Si 5 est linéaire, on a x = Ax, et
= A en tout xo, donc en tout équilibre.
2. La linéarisation transforme xo, équilibre de 5, en 0 qui est nécessairement équilibre
de Si car ce nouveau système est linéaire.
3. La linéarisation n’a de valeur que locale : en particulier Si a comme espace d’états
R”, ce qui fait perdre les propriétés topologiques de Q, espace des états de 5, si
ce dernier n’est pas homéomorphe à R". C’est le cas, nous l’avons déjà vu, si l’une
des composantes de x est un angle, élément de R/Z et non de R. C’est aussi le cas
par exemple si est une couronne ouverte du plan.
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