Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
Figure 6.2- Des orbites spirales convergentes.
Il va de soi que dans de nombreux cas, la recherche d’une fonction de Liapounov peut s’avérer très délicate, voire impossible comme le met en lumière l’exercice
suivant.
f
Exercice 6.2 Un équilibre stable mais sans fonction de Liapounov
Le but de Vexercice est de montrer qidautour de certains équilibres stables, il est
impossible de trouver une fonction de Liapounov.
On considère le système monodimensionnel de classe C' suivant ;
1
f{x) = sin - avec /(0 ) = 0, déjà évoqué dans l’exercice 3.2.
1. Montrer qu’au voisinage de l’équilibre 0, il est impossible de trouver une fonction de Liapounov malgré la stabilité de cet équilibre.
2. Généraliser cet exemple à R".
■a
O c U
Û
t H
O
CM
(y)
4-1
X I
ai
>Q.
O
U
6 . 4
L i n é a r i s a t i o n a u t o u r d e s é q u i l i b r e s
Nous avons vu qu’en vertu du théorème du redressement le comportement local d’un
système ne pouvait offrir quelque complexité qu’au voisinage d’un équilibre. Or,
l’étude que nous avons faite des systèmes linéaires au voisinage d’un équilibre permet une classification exhaustive du comportement local, tout au moins en regard de
la notion de stabilité.
Pour un système non-linéaire, il est donc légitime d’étudier si la linéarisation au
voisinage d’un équilibre conserve ou non les propriétés qualitatives liées à la stabilité. Nous verrons que c’est le cas pour une large classe de systèmes, mais que cette
constatation n’est toutefois pas universelle.
6 .4 .1 D é f in iti o n d e la l i n é a r i s a t i o n
Soit S le système x = f{x ) de classe C* dans un voisinage d’un point x \.
Le développement de Taylor-Lagrange de / à l’ordre 1 est :
/ W = f{ x \) + V fx^{x- X{) + o ( x - x i )
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