6.3. Théorie de Liapounov de la stabilité
L e m m e b)
Ce lemme n’est autre qu’une variante du lemme a), avec les correspondances : F{x)~
F ( x q )
-F{x), et a
j3 : donc, ip est le minimum de -F {x) sur F. On obtient
ainsi :
Vé: 6]0, R [, 3p{s) tel que Vjc e A, F{x) > -p {s) = > ||jc - xoll < s.
■a O
c
n
û
« JD
t H
O
CM
(y)
X I
C T
>•
C L
O
U
• Cas Z ’ < 0 ; stabilité asymptotique de xo
En utilisant convenablement l’hypothèse F < 0 ainsi que le lemme b), on montre
qu’il existe un voisinage V de xq, fonction de s, tel que pour tout x e V :
\\(p(t, x) - xoll < s.
> 0, 3 T (x, s) tel que t> T{x, e)
Donc, X{) est asymptotiquement stable.
Exemples
1. Soit le système i = 0 sur Q = R. Pour tout e R, la fonction F{x) = { x - a f
admet un minimum strict en a et a pour dérivée temporelle F = VF./ = 0 < 0.
Par conséquent, tout réel a est un équilibre stable (mais non asymptotiquement) du système, ce qui était évident a priori pour ce système particulièrement simple.
2. Soit le système x = - x sur il = R : la fonction F(x) = x~ admet un minimum
strict en xo = 0, et a pour dérivée temporelle F = VF./ = -2x- < 0. Comme
F < 0 hors de jco, 0 est un équilibre asymptotiquement stable du système.
3. Sur £1 = R“, la fonction F(x) = ||jc||“ est une fonction de Liapounov pour le système ^
¿1 En effet, VF./ = 0, d’où F = 0, ce qui montre la stabilité
de l’équilibre 0 (qui n’est pas asymptotiquement stable).
û
©
4. Sur il = R^, la fonction F{x) = |Uif est une fonction de Liapounov pour le
système ^ | ^
En effet, pour x 9^ = 0, on a VF./ = -2{x~ + x^) < 0, d’où
F < 0, ce qui montre la stabilité asymptotique de l’équilibre 0.
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