Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
Une telle fonction, pour laquelle on a nécessairement F(xç)) = 0, est appelée fonction
de Liapounov.
Nous allons montrer que la simple existence d’une fonction de Liapounov au voisinage de l’équilibre xq implique la stabilité de l’équilibre xq. Ce résultat important
constitue un théorème de Liapounov ; nous en énoncerons ensuite un autre relatif au
système linéarisé, notion qui fera l’objet d’un prochain paragraphe.
Premier théorème de Liapounov
S’il existe une fonction de Liapounov F dans un voisinage V de xq, équilibre du
système x = f{x) de classe
alors :
Xq est un équilibre stable du système.
Si de plus la dérivée temporelle de F est strictement négative hors de .tq :
JC () est un équilibre asymptotiquement stable.
■ O
O
c
n
û
« JD
'rH
O
rs l
(y)
D I
>•
Q .
O
U
La démonstration fera appel à deux lemmes.
L e m m e a)
V contient une boule fermée A = B{xo, R) de centre a’ q et de rayon R, donc aussi,
pour tout s < R, une « couronne » fermée L = {x 6 A ; ||x - xqII > centrée sur xq.
Comme F est continue sur le compact F, F(x) - F(xo) y atteint son minimum
2a > 0, où O' > 0. Ceci implique :
e]0, R [ , 3a{s) tel que ^ x G A, \\x - xqII > s = > F{x) - F{xo) > a,
qui équivaut à :
Vs G]0, R[, 3 a (s) tel que Vx G A, F(x) - F(xq) < a = > ||jc - x q \\ < s.
• Cas F < 0 ; stabilité de jco
Fixons £. D ’après le lemme a), il existe a{s) > 0 tel que :
Vjc g a , F{x) - F{xq) < a
||x - .roll < s
F est continue en xq. Par conséquent, a > 0 étant celui précédemment déterminé, il
existe 77(a) > 0 tel que : ||x - xo|| < 77(a)
F{x) - F{xq) < a.
Dès lors, si on choisit un état initial a dans la boule ouverte 3 { xq, 77(a)), alors
F{a) - F{xq) < a. Mais F a une dérivée temporelle négative. Par conséquent :
Vt > 0, F\x(t)] - F(xq) < F (a) - F{xo) < a. Alors, d’après le lemme a) :
Vr > 0, ||jc(0 - jcoll < £. Comme 77 est fonction de a, donc de s, le résultat obtenu
montre que jco est un équilibre stable, ce qui établit le premier volet du théorème.
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