6.3. Théorie de Liapounov de la stabilité
Dans les applications mécaniques, cette dérivée notée aussi D fjD t est pour les raisons
indiquées appelée dérivée particulaire.
Si F est de classe C* dans Î2, elle possède un gradient VF relativement à .r, et on a,
DF
par dérivation d’une fonction composée, le résultat classique :
= VF . f
Dans le cas général d’un système qui n’est pas nécessairement mécanique, cette
dérivée est aussi appelée dérivée de Lie.
Remarque
Si la fonction F dépend non seulement de l’état jc mais aussi du temps t, il convient
d’ajouter au terme V F .f, appelé aussi dérivée convective, la dérivée partielle de
F par rapport au temps à jc constant, qu’on appellera dérivée locale ou dérivée
eulérienne.
On a alors : ^ ( r , x ) =
+ VF(r, jc) . /
—
dérivée
particulaire
dt
dérivée
locale
dérivée
convective
Comme le présent document est centré sur les systèmes autonomes, (/ fonction de
et non de /), les fonctions F que nous considérerons seront elles aussi fonctions du
seul état x ; leur dérivée locale sera donc nulle.
Une fois xo choisi, c’est-à-dire une fois la trajectoire choisie, F dépend seulement de t,
et on allégera l’écriture en notant : F[cf>{t, xo)l = Fit).
La dérivée de Lie
dF[(/){t, Xo)l
II
-
'
I
■ I
d F
.
— ---- - sera elle-meme notee plus simplement
ou F et appelée encore dérivée temporelle de F.
En résumé, les quatre expressions suivantes sont synonymes dans le cas d’une
fonction F de l’état d’un système autonome :
• dérivée particulaire
• dérivée convective
• dérivée de Lie
• dérivée temporelle
T J
O
c
3
Q
kD
O
(N
xz
ai
>Q .
O
U
De tout ce qui précède, on retiendra : F = V F .f
H
Q
©
formule importante qui permet le calcul pratique de la dérivée temporelle de F.
6 .3 .2 F o n c t i o n s d e L ia p o u n o v
Soit Xo un équilibre du système x = f{x), de classe C' sur le domaine Î2.
Soit F une fonction définie et continue dans un voisinage V de xo et à valeurs dans
R vérifiant les propriétés suivantes :
• elle admet un minimum strict en . xq, c’est-à-dire :
Vx G V - {jC()}, on a F{x) > F{xq)
• elle est de classe
sur V - {xq}, et sa dérivée temporelle y est négative ou nulle,
c’est-à-dire : Vx e V - {xq}, o n a F = V F . / < 0
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Dans les applications mécaniques, cette dérivée notée aussi D fjD t est pour les raisons
indiquées appelée dérivée particulaire.
Si F est de classe C* dans Î2, elle possède un gradient VF relativement à .r, et on a,
DF
par dérivation d’une fonction composée, le résultat classique :
= VF . f
Dans le cas général d’un système qui n’est pas nécessairement mécanique, cette
dérivée est aussi appelée dérivée de Lie.
Remarque
Si la fonction F dépend non seulement de l’état jc mais aussi du temps t, il convient
d’ajouter au terme V F .f, appelé aussi dérivée convective, la dérivée partielle de
F par rapport au temps à jc constant, qu’on appellera dérivée locale ou dérivée
eulérienne.
On a alors : ^ ( r , x ) =
+ VF(r, jc) . /
—
dérivée
particulaire
dt
dérivée
locale
dérivée
convective
Comme le présent document est centré sur les systèmes autonomes, (/ fonction de
et non de /), les fonctions F que nous considérerons seront elles aussi fonctions du
seul état x ; leur dérivée locale sera donc nulle.
Une fois xo choisi, c’est-à-dire une fois la trajectoire choisie, F dépend seulement de t,
et on allégera l’écriture en notant : F[cf>{t, xo)l = Fit).
La dérivée de Lie
dF[(/){t, Xo)l
II
-
'
I
■ I
d F
.
— ---- - sera elle-meme notee plus simplement
ou F et appelée encore dérivée temporelle de F.
En résumé, les quatre expressions suivantes sont synonymes dans le cas d’une
fonction F de l’état d’un système autonome :
• dérivée particulaire
• dérivée convective
• dérivée de Lie
• dérivée temporelle
T J
O
c
3
Q
kD
O
(N
xz
ai
>Q .
O
U
De tout ce qui précède, on retiendra : F = V F .f
H
Q
©
formule importante qui permet le calcul pratique de la dérivée temporelle de F.
6 .3 .2 F o n c t i o n s d e L ia p o u n o v
Soit Xo un équilibre du système x = f{x), de classe C' sur le domaine Î2.
Soit F une fonction définie et continue dans un voisinage V de xo et à valeurs dans
R vérifiant les propriétés suivantes :
• elle admet un minimum strict en . xq, c’est-à-dire :
Vx G V - {jC()}, on a F{x) > F{xq)
• elle est de classe
sur V - {xq}, et sa dérivée temporelle y est négative ou nulle,
c’est-à-dire : Vx e V - {xq}, o n a F = V F . / < 0
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