Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
T J
O
c
rj
û
U D
l~l
O
rs]
ai
>C L
O
U
• un pendule non amorti oscille indéfiniment ; il représente un système stable, non
asymptotiquement stable. Dans son mouvement, son énergie mécanique reste
constante.
• un pendule amorti en revanche présente des oscillations dont l’amplitude tend vers
zéro. L’état (position, vitesse) tend vers l’état « position basse » qui est un équilibre
asymptotiquement stable. Le système est dissipatif. L’énergie mécanique diminue :
elle se transforme en chaleur en vertu du premier principe de la thermodynamique.
Il est naturel de chercher à prolonger cette approche intuitive par des définitions et
résultats rigoureux : c’est ce que réalise la notion de fonction de Liapounov, qui
généralise celle d’énergie mécanique d’un système conservatif ou dissipatif.
Interm ède historiq ue : A lexa n d re L iap o un ov et la notion m oderne de stabilité
Alexandre Liapounov (Lyapunov dans la littérature anglo-saxonne), mathématicien
russe (1857-1918), fils d ’astronome, a consacré une grande part de sa carrière, dès
son travail de thèse, aux problèmes de stabilité. Il a notamment introduit la notion moderne de stabilité des systèmes dynamiques, donné avec les «fonctions de
Liapounov » un outil efficace d'analyse, et proposé une évaluation de la divergence
entre deux trajectoires voisines : nombre et exposant de Liapounov. Il a également
apporté une contribution notable à la théorie des probabilités. Liapounov a mis fin à
ses Jours à 61 ans après le décès de sa femme.
6 .3 .1 D é r i v é e d e L ie, d é r i v é e p a r t i c u l a i r e
La définition d’un système autonome, donc du champ de vecteurs x = f(x), peut
s’interpréter comme la donnée du champ de vitesses d’un écoulement fluide permanent dans R'^. L’évolution de l’état représente le mouvement d’une particule fluide.
Changer de condition initiale revient à changer de particule. Aussi, ne serait-ce que
pour faire le lien avec des notions classiques de mécanique des fluides, allons-nous
rappeler (ou simplement donner) quelques définitions qui seront utiles pour la suite.
Nous avons vu en début de document que l’état est « transporté par le flot » à
l’image d’une particule transportée par le champ de vitesses, selon l’équation :
x(t) = (f)(t, xo),
où Xo représente l’état initial x(0). Dès lors, toute fonction réelle F de l’état évolue
avec lui : la fonction t i-^ F\(p(t, xq)] dépend des deux variables xq et t. Une fois
choisi l’état initial x q , suivons l’état dans son évolution, c’est-à-dire la particule dans
son mouvement. La fonction F varie et sa dérivée par rapport au temps, lorsqu’elle
existe, est :
dF[(p{t, Xo)]
F =
dt
84
T J
O
c
rj
û
U D
l~l
O
rs]
ai
>C L
O
U
• un pendule non amorti oscille indéfiniment ; il représente un système stable, non
asymptotiquement stable. Dans son mouvement, son énergie mécanique reste
constante.
• un pendule amorti en revanche présente des oscillations dont l’amplitude tend vers
zéro. L’état (position, vitesse) tend vers l’état « position basse » qui est un équilibre
asymptotiquement stable. Le système est dissipatif. L’énergie mécanique diminue :
elle se transforme en chaleur en vertu du premier principe de la thermodynamique.
Il est naturel de chercher à prolonger cette approche intuitive par des définitions et
résultats rigoureux : c’est ce que réalise la notion de fonction de Liapounov, qui
généralise celle d’énergie mécanique d’un système conservatif ou dissipatif.
Interm ède historiq ue : A lexa n d re L iap o un ov et la notion m oderne de stabilité
Alexandre Liapounov (Lyapunov dans la littérature anglo-saxonne), mathématicien
russe (1857-1918), fils d ’astronome, a consacré une grande part de sa carrière, dès
son travail de thèse, aux problèmes de stabilité. Il a notamment introduit la notion moderne de stabilité des systèmes dynamiques, donné avec les «fonctions de
Liapounov » un outil efficace d'analyse, et proposé une évaluation de la divergence
entre deux trajectoires voisines : nombre et exposant de Liapounov. Il a également
apporté une contribution notable à la théorie des probabilités. Liapounov a mis fin à
ses Jours à 61 ans après le décès de sa femme.
6 .3 .1 D é r i v é e d e L ie, d é r i v é e p a r t i c u l a i r e
La définition d’un système autonome, donc du champ de vecteurs x = f(x), peut
s’interpréter comme la donnée du champ de vitesses d’un écoulement fluide permanent dans R'^. L’évolution de l’état représente le mouvement d’une particule fluide.
Changer de condition initiale revient à changer de particule. Aussi, ne serait-ce que
pour faire le lien avec des notions classiques de mécanique des fluides, allons-nous
rappeler (ou simplement donner) quelques définitions qui seront utiles pour la suite.
Nous avons vu en début de document que l’état est « transporté par le flot » à
l’image d’une particule transportée par le champ de vitesses, selon l’équation :
x(t) = (f)(t, xo),
où Xo représente l’état initial x(0). Dès lors, toute fonction réelle F de l’état évolue
avec lui : la fonction t i-^ F\(p(t, xq)] dépend des deux variables xq et t. Une fois
choisi l’état initial x q , suivons l’état dans son évolution, c’est-à-dire la particule dans
son mouvement. La fonction F varie et sa dérivée par rapport au temps, lorsqu’elle
existe, est :
dF[(p{t, Xo)]
F =
dt
84