6.3. Théorie de Liapounov de la stabilité
Soit S un système conservatif d’hamiltonien H (q, p) =
+ V{q), où le potentiel V est une fonction de classe C* de la position q G R”, et admet un minimum
strict Vtn pour q = qoDans ces conditions : jcq = (qo, 0) est un équilibre stable mais pas asymptotiquement stable du système.
La démonstration de ce résultat fait l’objet de l’exercice suivant.
Exercice 6. J Équilibre d’un système hamiltonien
llnlp
Soit un système conservatif d’hamiltonien H(q, p) = — h V(q), où le potentiel V
est une fonction de classe
de la position q G R'^
On rap p elle alo rs que, si .r = y] G R^" , on a i = f(x ) =
On suppose que le potentiel V admet un minimum strict V,„ pour q = qo1. Vérifier que xq = (qo, 0) est un équilibre stable du système.
2. (a) Expliciter la matrice
(b) Quel est son spectre ?
3. Montrer que xq n’est pas asymptotiquement stable.
T J
O c D
Q
kD
O
rs]
(y)
gj
>•
Q .
O
U
û
©
Les équilibres stables d’un système conservatif du type décrit dans l’exercice 6.1
ne sont pas asymptotiquement stables (question 3 de l’exercice). Mais ils peuvent
le devenir par introduction d’un amortissement dû par exemple à un frottement. Le
système n’est alors plus conservatif, il devient dissipatif, notion déjà évoquée au
paragraphe 2.3.3.
Dans un système dissipatif, le volume de tout compact de l’espace des phases ne
peut que décroître avec le temps, ce qui s’accorde bien avec l’intuition dans le cas
par exemple de trajectoires spirales centripètes.
6 . 3
T h é o r i e d e L i a p o u n o v d e l a s t a b i l i t é
La théorie de Liapounov permet de déduire la stabilité d’un système, voire sa stabilité
asymptotique, de l’existence d’une fonction attachée à l’état du système, et décroissant avec le temps. Nous appellerons /bncfio/i de Liapounov une telle fonction. L’idée
sous-jacente est de généraliser une constatation que la simple expérience du pendule
nous permet déjà de faire :
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