Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
Mais il résulte des équations canoniques que
dc/k _
d^H
dqu
dpk dqk
dpk _
d^H
dpk
dqk dpk
Par conséquent, Div / = 0. Si on interprète / comme le champ des vitesses
d’un fluide, on constate donc que « le fluide hamiltonien est incompressible », ce
qui constitue le théorème de Liouville.
J(ln v)
Nous rappelons que, si / est le champ des vitesses d’un fluide, Div / =
d t
où V est le volume massique, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. L’incompressibilité implique donc l’invariance d’un « volume fluide », c’est-à-dire du volume
de tout compact de l’espace des phases (au sens de : mesure dans
lors de son
évolution dans le temps, comme nous l’avons vu au § 2.3.3. Conservatif au sens
de la constance de l’hamiltonien, le système l’est donc aussi au sens de l’invariance
volumique dans l’espace des phases.
TJ O c D
Q
kD
O
rs]
(S)
X I
O J
>Q .
O
U
E q u ilib re s d ’u n s y s t è m e h a m ilto n ie n
Un flot hamiltonien étant incompressible (c’est-à-dire tel que Div / = 0), il est naturel de s’interroger sur la nature des équilibres éventuels d’un flot incompressible.
Quelques remarques préliminaires s’imposent.
1. Un flot incompressible peut n’avoir aucun équilibre.
C’est le cas, pour a non nul appartenant à R'^, du système x = a.
2. Un flot incompressible peut avoir des équilibres stables.
C’est le cas sur R'^ du système i: = 0 (tout point est un équilibre)
.
V
/0 - 1 \
o u s u r R d u s y s tè m e ^
q I
3. Un flot incompressible peut avoir des équilibres instables.
C’est le cas sur R^ du système x =
-1 0^
0 li
X.
4. Un flot compressible peut avoir un équilibre instable même si tout volume
fluide décroît en fonction du temps.
C’est le cas sur R^ du système ~ | 0
lequel tout volume fluide
tend vers 0.
Une fois ces préliminaires énoncés, donnons une caractéristique majeure des systèmes hamiltoniens :
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Mais il résulte des équations canoniques que
dc/k _
d^H
dqu
dpk dqk
dpk _
d^H
dpk
dqk dpk
Par conséquent, Div / = 0. Si on interprète / comme le champ des vitesses
d’un fluide, on constate donc que « le fluide hamiltonien est incompressible », ce
qui constitue le théorème de Liouville.
J(ln v)
Nous rappelons que, si / est le champ des vitesses d’un fluide, Div / =
d t
où V est le volume massique, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. L’incompressibilité implique donc l’invariance d’un « volume fluide », c’est-à-dire du volume
de tout compact de l’espace des phases (au sens de : mesure dans
lors de son
évolution dans le temps, comme nous l’avons vu au § 2.3.3. Conservatif au sens
de la constance de l’hamiltonien, le système l’est donc aussi au sens de l’invariance
volumique dans l’espace des phases.
TJ O c D
Q
kD
O
rs]
(S)
X I
O J
>Q .
O
U
E q u ilib re s d ’u n s y s t è m e h a m ilto n ie n
Un flot hamiltonien étant incompressible (c’est-à-dire tel que Div / = 0), il est naturel de s’interroger sur la nature des équilibres éventuels d’un flot incompressible.
Quelques remarques préliminaires s’imposent.
1. Un flot incompressible peut n’avoir aucun équilibre.
C’est le cas, pour a non nul appartenant à R'^, du système x = a.
2. Un flot incompressible peut avoir des équilibres stables.
C’est le cas sur R'^ du système i: = 0 (tout point est un équilibre)
.
V
/0 - 1 \
o u s u r R d u s y s tè m e ^
q I
3. Un flot incompressible peut avoir des équilibres instables.
C’est le cas sur R^ du système x =
-1 0^
0 li
X.
4. Un flot compressible peut avoir un équilibre instable même si tout volume
fluide décroît en fonction du temps.
C’est le cas sur R^ du système ~ | 0
lequel tout volume fluide
tend vers 0.
Une fois ces préliminaires énoncés, donnons une caractéristique majeure des systèmes hamiltoniens :
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