6.2. Généralités et exemples
Reprenons cette approche dans le cas général.
On a
= - W { q ) , avec q e W , V étant le potentiel. L’hamiltonien s’écrit alors,
moyennant un choix convenable des unités : H{q, p) = T + V =
+ V{q), somme
des énergies cinétique et potentielle.
Des équations canoniques et de l’équation précédente, on déduit :
d H
- d’une part - — = qi = pi, d’où p = q dans R” ;
opi
Qjj
- d’autre part
= p, = -(VV), = - — .
dqi
oqi
Dès lors, on rentre dans le formalisme adopté dans ce livre en considérant .r =
'q^
qui appartient à
En effet, nous avons l’équation d’évolution du système :
■a
O
c
n
û
« JD
O
rs l
x :
g i
>•
C L
O
U
qui est bien de la forme x = f{x).
dH
La dérivée temporelle
de l’hamiltonien est égale au produit scalaire V //./
( § 6 .3 .1 ) .
^
Or, VH = V
+ ^(^)j = ^ vecteur de R^'^ dont les deux « composantes »
sont de dimension n. On a donc
= V H .f =
J = 0 (produit scalaire
dt
\ p I
dans R ^ "). On retrouve le fait que l’hamiltonien est con stan t sur toute trajectoire. Le
flot est alors dit hamiltonien.
Exemples de systèmes hamiltoniens
• Pendule simple, déjà évoqué à plusieurs reprises : il est associé au potentiel
V{c]) = - cos q
• Oscillateur de Duffing : également de dimension 1, il est associé au potentiel
Vd]) = - T 1 ^ + ¿yV4.
Q
@
I n c o m p r e s s ib ilité d u f lu id e h a m ilto n ie n
^ dùb
^ dùir
Le champ de vecteurs .v f{x) a pour divergence : Div / = 2 7— ^ + 2 ---- •
k=\ oqu k=i dpk
81