Chapitre 6 • Propriétés locales du flot
• rhamiltonien
t) = Yu Pk ~ L(qh cji, t), qui est aussi l’énergie totale
k=\
r + y du système, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle si L ne
dépend pas du temps.
Une fois exprimé l’hamiltonien, les équations d’évolution du système, dites équations canoniques d’Hamilton, prennent la forme particulièrement simple suivante :
Cette approche s’adapte aux cas de la mécanique classique et de la mécanique quantique. On notera que la troisième équation s’obtient immédiatement en dérivant par
rapport au temps l’expression de H.
6 .2 .2 F lo t h a m i l t o n i e n
C o n s ta n c e d e l’h a m ilto n ie n
Gardant les hypothèses et notations précédentes, on a :
T J
O
c
D
û
O r\i
(5)
gj
‘s_
>.
C L
O
U
dt
E dH dqi
dqi dt
^ dpi dt
dH dpi
dH
^
^ ^ ^
H ------et, compte tenu de 1 encadre precedent :
dt
^
dqi dpi
^ dpi \ dqH
dt
dt
=0
Dans le cas où le lagrangien est fonction des seules coordonnées généralisées, on a
dL
dH
.
— = 0, d’où
= 0, ce qui signifie que dans ce cas rhamiltomen est constant
sur toute trajectoire. En d’autres termes, il y a conservation de l’énergie totale du
système. Pour cette raison, le système est dit conservatif comme nous l’avons déjà
indiqué au paragraphe 1.2.3. Nous allons retrouver un peu plus loin une autre justification de ce qualificatif, rencontré aussi au § 2.3.3.
C a s d ’u n c h a m p d é r iv a n t d ’u n p o te n tie l
Au paragraphe 1.2.3, nous avons évoqué deux exemples (oscillateur harmonique et
pendule simple) de système mécanique évoluant sans frottements dans un champ de
d^q
forces, et avons écrit à cette occasion —^ = - W ( q ) ; cette équation signifie que le
dp
champ de forces dérive d ’un potentiel. Dans ce cas, le système possède une énergie
totale constante : nous savons qu’il s’agit de son hamiltonien.
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• rhamiltonien
t) = Yu Pk ~ L(qh cji, t), qui est aussi l’énergie totale
k=\
r + y du système, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle si L ne
dépend pas du temps.
Une fois exprimé l’hamiltonien, les équations d’évolution du système, dites équations canoniques d’Hamilton, prennent la forme particulièrement simple suivante :
Cette approche s’adapte aux cas de la mécanique classique et de la mécanique quantique. On notera que la troisième équation s’obtient immédiatement en dérivant par
rapport au temps l’expression de H.
6 .2 .2 F lo t h a m i l t o n i e n
C o n s ta n c e d e l’h a m ilto n ie n
Gardant les hypothèses et notations précédentes, on a :
T J
O
c
D
û
O r\i
(5)
gj
‘s_
>.
C L
O
U
dt
E dH dqi
dqi dt
^ dpi dt
dH dpi
dH
^
^ ^ ^
H ------et, compte tenu de 1 encadre precedent :
dt
^
dqi dpi
^ dpi \ dqH
dt
dt
=0
Dans le cas où le lagrangien est fonction des seules coordonnées généralisées, on a
dL
dH
.
— = 0, d’où
= 0, ce qui signifie que dans ce cas rhamiltomen est constant
sur toute trajectoire. En d’autres termes, il y a conservation de l’énergie totale du
système. Pour cette raison, le système est dit conservatif comme nous l’avons déjà
indiqué au paragraphe 1.2.3. Nous allons retrouver un peu plus loin une autre justification de ce qualificatif, rencontré aussi au § 2.3.3.
C a s d ’u n c h a m p d é r iv a n t d ’u n p o te n tie l
Au paragraphe 1.2.3, nous avons évoqué deux exemples (oscillateur harmonique et
pendule simple) de système mécanique évoluant sans frottements dans un champ de
d^q
forces, et avons écrit à cette occasion —^ = - W ( q ) ; cette équation signifie que le
dp
champ de forces dérive d ’un potentiel. Dans ce cas, le système possède une énergie
totale constante : nous savons qu’il s’agit de son hamiltonien.
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