Pr o p r ié t é s
LOCALES DU FLOT
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T J
O
c
rj
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« JD
t H
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
û
©
6 . 1
I n t r o d u c t i o n
Au cours des chapitres précédents, nous avons donné quelques résultats sur les systèmes non-linéaires, et traité exhaustivement et analytiquement la stabilité des systèmes linéaires.
Nous allons dans ce chapitre approfondir notre analyse des systèmes quelconques.
Nous ne rechercherons pas des solutions analytiques, mais recueillerons le fruit du
travail fait sur les systèmes linéaires. Car les systèmes non-linéaires conservent certaines propriétés des systèmes linéaires par l’intermédiaire de la linéarisation, toujours possible pour des systèmes de classe C' et fructueuse au voisinage de ce que
nous appellerons les équilibres hyperboliques.
6 . 2
G é n é r a l i t é s e t e x e m p l e s
6 .2 .1 H a m i l t o n i e n
En premier lieu, quelques rappels peuvent être utiles. L’analyse d’un système mécanique à n degrés de liberté évoluant sans frottement peut être conduite en faisant
intervenir :
• n coordonnées généralisées qi, fonctions de distances et angles qui définissent la
configuration et la position du système ;
• le lag rangien du système, fonction L{qj, qi, t) des qi, de leurs dérivées temporelles
c{i et du temps. Le lagrangien est égal à 7 - V, differenee entre l’énergie einctique
et l’énergie potentielle.
La mise en équation du système fait apparaître le lagrangien et se traduit par les
d l d L \
dL
équations d’Euler-Lagrange : — — - — = 0, qui sont d’ordre deux (interveni r \ oqi I oqi
don des dérivées secondes des qi par rapport au temps). Cette approche s’appelle la
mécanique lagrangienne.
Mais il y a une autre approche, la mécanique hamiltonienne, qui offre l’avantage de
s’exprimer par un système du premier ordre. Elle met en jeu, outre les coordonnées
généralisées qi :
. , .
dL
• les moments conjugues définis par pi = ■ — et homogènes à des quantités de moudqi
vement. En formulation hamiltonienne (alinéas suivants), c’est le couple (^/, pi)
qui intervient.
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Au cours des chapitres précédents, nous avons donné quelques résultats sur les systèmes non-linéaires, et traité exhaustivement et analytiquement la stabilité des systèmes linéaires.
Nous allons dans ce chapitre approfondir notre analyse des systèmes quelconques.
Nous ne rechercherons pas des solutions analytiques, mais recueillerons le fruit du
travail fait sur les systèmes linéaires. Car les systèmes non-linéaires conservent certaines propriétés des systèmes linéaires par l’intermédiaire de la linéarisation, toujours possible pour des systèmes de classe C' et fructueuse au voisinage de ce que
nous appellerons les équilibres hyperboliques.
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G é n é r a l i t é s e t e x e m p l e s
6 .2 .1 H a m i l t o n i e n
En premier lieu, quelques rappels peuvent être utiles. L’analyse d’un système mécanique à n degrés de liberté évoluant sans frottement peut être conduite en faisant
intervenir :
• n coordonnées généralisées qi, fonctions de distances et angles qui définissent la
configuration et la position du système ;
• le lag rangien du système, fonction L{qj, qi, t) des qi, de leurs dérivées temporelles
c{i et du temps. Le lagrangien est égal à 7 - V, differenee entre l’énergie einctique
et l’énergie potentielle.
La mise en équation du système fait apparaître le lagrangien et se traduit par les
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équations d’Euler-Lagrange : — — - — = 0, qui sont d’ordre deux (interveni r \ oqi I oqi
don des dérivées secondes des qi par rapport au temps). Cette approche s’appelle la
mécanique lagrangienne.
Mais il y a une autre approche, la mécanique hamiltonienne, qui offre l’avantage de
s’exprimer par un système du premier ordre. Elle met en jeu, outre les coordonnées
généralisées qi :
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• les moments conjugues définis par pi = ■ — et homogènes à des quantités de moudqi
vement. En formulation hamiltonienne (alinéas suivants), c’est le couple (^/, pi)
qui intervient.
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