1.1. Introduction
fait que si comportait plusieurs composantes connexes (plusieurs « morceaux »),
le système se décomposerait en autant de sous-systèmes n’interagissant pas, donc
analysables individuellement.
Mais
peut ne pas suffire pour modéliser certains systèmes pourtant très simples
(à l’image du pendule) qui par exemple mettent enjeu des angles, donc des éléments
de R I2 n Z (ou R/Z). Cette situation est illustrée par l’exemple ci-après.
• U n d e u x i è m e e x e m p l e d e s y s t è m e a u t o n o m e : le p e n d u l e
s i m p l e à t i g e r i g i d e
L’état d’un tel pendule est composé de sa position angulaire et de sa vitesse angulaire.
Son espace d’état est donc :
• M? si on traduit la position angulaire par un réel. Ce choix, qui revient à « compter
les tours », s’imposerait dans le cas du repérage angulaire d’un pendule de torsion.
• le produit d’un cercle par la droite réelle, donc un cylindre, si on traduit la position
angulaire par un réel à I k n près.
Dans le cas d’une dimension n quelconque, on parle de variété, entité géométrique
localement assimilable à une portion de
comme le précise l’annexe 2, paragraphe
« variétés ». Tout système mécanique dont un élément est mobile autour d’un axe
ou d’un point répond à la même logique ; la robotique peut fournir des exemples
complexes.
T J
O
c
D
Q
kD
O
rs]
OJ
v _
>•
Q .
O
U
• S y s t è m e s n o n - a u t o n o m e s
On peut encore utiliser le procédé d’extension d’état pour transformer un système
non-autonome en système autonome. En effet, la non-autonomie se traduit par une
équation de la forme x = f{x, /). Il suffit dès lors d’ajouter l’état Xn+[ — /, ce qui
réhabilite la forme x = f(x), avec cette fois jc e R'^^* et l’équation supplémentaire
Xn+ 1 — 1.
E x e m p le
Soit le système non-autonome (donc de loi non-stationnaire) '^ =
Avec X =
On a donc transformé le système initial non-autonome d’ordre 2 en un
système autonome d’ordre 1 sur R\ de la forme x = f{x).
f i]
^0 1 0^ 'x , '
= X2 , on a : JC =
=
b a 0
X2 -r <^(X3)
U J
h J .0 0 0, \ X3 ^ l 1 J
û
©
Généralisons encore : ce qui a été fait pour les équations différentielles s’applique
aux s y s tè m e s d iffé re n tie ls, autonomes ou non. On se reportera à l’exercice 1.1.
fait que si comportait plusieurs composantes connexes (plusieurs « morceaux »),
le système se décomposerait en autant de sous-systèmes n’interagissant pas, donc
analysables individuellement.
Mais
peut ne pas suffire pour modéliser certains systèmes pourtant très simples
(à l’image du pendule) qui par exemple mettent enjeu des angles, donc des éléments
de R I2 n Z (ou R/Z). Cette situation est illustrée par l’exemple ci-après.
• U n d e u x i è m e e x e m p l e d e s y s t è m e a u t o n o m e : le p e n d u l e
s i m p l e à t i g e r i g i d e
L’état d’un tel pendule est composé de sa position angulaire et de sa vitesse angulaire.
Son espace d’état est donc :
• M? si on traduit la position angulaire par un réel. Ce choix, qui revient à « compter
les tours », s’imposerait dans le cas du repérage angulaire d’un pendule de torsion.
• le produit d’un cercle par la droite réelle, donc un cylindre, si on traduit la position
angulaire par un réel à I k n près.
Dans le cas d’une dimension n quelconque, on parle de variété, entité géométrique
localement assimilable à une portion de
comme le précise l’annexe 2, paragraphe
« variétés ». Tout système mécanique dont un élément est mobile autour d’un axe
ou d’un point répond à la même logique ; la robotique peut fournir des exemples
complexes.
T J
O
c
D
Q
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O
rs]
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>•
Q .
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• S y s t è m e s n o n - a u t o n o m e s
On peut encore utiliser le procédé d’extension d’état pour transformer un système
non-autonome en système autonome. En effet, la non-autonomie se traduit par une
équation de la forme x = f{x, /). Il suffit dès lors d’ajouter l’état Xn+[ — /, ce qui
réhabilite la forme x = f(x), avec cette fois jc e R'^^* et l’équation supplémentaire
Xn+ 1 — 1.
E x e m p le
Soit le système non-autonome (donc de loi non-stationnaire) '^ =
Avec X =
On a donc transformé le système initial non-autonome d’ordre 2 en un
système autonome d’ordre 1 sur R\ de la forme x = f{x).
f i]
^0 1 0^ 'x , '
= X2 , on a : JC =
=
b a 0
X2 -r <^(X3)
U J
h J .0 0 0, \ X3 ^ l 1 J
û
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Généralisons encore : ce qui a été fait pour les équations différentielles s’applique
aux s y s tè m e s d iffé re n tie ls, autonomes ou non. On se reportera à l’exercice 1.1.