Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
I n t e r m è d e h i s t o r i q u e : P o i n c a r é , u n g r a n d p r é c u r s e u r
Henri Poincaré (mathématicien, physicien et philosophe français, 1854-1912), un des
plus grands scientifiques de tous les temps, a éclairé de son génie la fin du XIX^ siècle.
Comme pour d ’autres grands mathématiciens, la mécanique céleste a été P une des
motivations de ses travaux et Va conduit à modéliser les systèmes différentiels autour de la notion d ’« espace des phases », que nous appelons aujourd’hui espace des
états... et que nous retrouvons tout au long de ces pages. L ’usage a gardé partiellement cette dénomination initiale dans l ’expression de « portrait de phases ».
Poincaré a fait un certain nombre de découvertes fondamentales, certaines très en
avance sur son temps. Leur ampleur et leur variété justifieront un nouvel intermède
historique dans ce document. A suivre donc...
TJ
O
c
rj
û
«JD tH
O
C M
S I
C T
>.
C L
O
U
E x e r c ic e 1.1 M ise de sy stè m e s d ifféren tiels so u s la fo rm e x = f(x)
1. Mettre le système différentiel :
ü = aù-\-b U-\-ci)-\-dv
V - ei) f V + g ù + h u
sous la forme d’un système linéaire i = A . ;r, où x est un vecteur de dimension
n convenable et A une matrice carrée n x n .
ü - ail + bu + cv + dv + a(t)
v = ei) + f v + gù + h U + ß(t)
(non autonome) sous la forme d’un système autonome x = f(x), où .v est un
vecteur de dimension convenable.
il = uv — sinU cosV = h(u, v)
2. Mettre le système différentiel :
3. Mettre le système différentiel :
V = uù 2 u v + u^ V + e^ = k(u, u, v)
sous la forme d’un système x = g(x), où jc est un vecteur de dimension
convenable.
Hypothèses po u r la suite : nous allons étudier le système différentiel S suivant :
( ^ )
i = f{x)
dans lequel / est une fonction de classe C* définie sur un domaine Î2 c
et
à valeurs dans
Nous relâcherons assez souvent cette hypothèse en supposant
/ seulement localement lipschitzienne, pour des raisons qui apparaîtront au paragraphe 1.2.1.
L’application x G Î2 i-^ f(x) e R" représente un c h a m p d e v e c te u rs (c’est le
« champ des vitesses » du vecteur d’état x), expression qu’on pourra substituer au mot
système. On adoptera quelques variantes dans le vocabulaire en nommant l’équation
ci-dessus, indifféremment :
I n t e r m è d e h i s t o r i q u e : P o i n c a r é , u n g r a n d p r é c u r s e u r
Henri Poincaré (mathématicien, physicien et philosophe français, 1854-1912), un des
plus grands scientifiques de tous les temps, a éclairé de son génie la fin du XIX^ siècle.
Comme pour d ’autres grands mathématiciens, la mécanique céleste a été P une des
motivations de ses travaux et Va conduit à modéliser les systèmes différentiels autour de la notion d ’« espace des phases », que nous appelons aujourd’hui espace des
états... et que nous retrouvons tout au long de ces pages. L ’usage a gardé partiellement cette dénomination initiale dans l ’expression de « portrait de phases ».
Poincaré a fait un certain nombre de découvertes fondamentales, certaines très en
avance sur son temps. Leur ampleur et leur variété justifieront un nouvel intermède
historique dans ce document. A suivre donc...
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1. Mettre le système différentiel :
ü = aù-\-b U-\-ci)-\-dv
V - ei) f V + g ù + h u
sous la forme d’un système linéaire i = A . ;r, où x est un vecteur de dimension
n convenable et A une matrice carrée n x n .
ü - ail + bu + cv + dv + a(t)
v = ei) + f v + gù + h U + ß(t)
(non autonome) sous la forme d’un système autonome x = f(x), où .v est un
vecteur de dimension convenable.
il = uv — sinU cosV = h(u, v)
2. Mettre le système différentiel :
3. Mettre le système différentiel :
V = uù 2 u v + u^ V + e^ = k(u, u, v)
sous la forme d’un système x = g(x), où jc est un vecteur de dimension
convenable.
Hypothèses po u r la suite : nous allons étudier le système différentiel S suivant :
( ^ )
i = f{x)
dans lequel / est une fonction de classe C* définie sur un domaine Î2 c
et
à valeurs dans
Nous relâcherons assez souvent cette hypothèse en supposant
/ seulement localement lipschitzienne, pour des raisons qui apparaîtront au paragraphe 1.2.1.
L’application x G Î2 i-^ f(x) e R" représente un c h a m p d e v e c te u rs (c’est le
« champ des vitesses » du vecteur d’état x), expression qu’on pourra substituer au mot
système. On adoptera quelques variantes dans le vocabulaire en nommant l’équation
ci-dessus, indifféremment :