Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
L’équation de l’oscillateur harmonique est d’ordre 2; elle n’est donc pas sous la
forme souhaitée. On l’amène à cette forme en remplaçant ^ g R par x G R^, ce qui la
réduit de l’ordre 2 à V o rd re 1. La transformation est la suivante : on pose
x {t) =
i ( 0
m
où ^ désigne la dérivée de ^ par rapport au temps.
On obtient ainsi effectivement l’équation de l’oscillateur sous la forme de l’équation différentielle vectorielle d^ ordre 1 :
On a diminué l’ordre au prix de l’augmentation de la dimension {x G R^, alors que ^
appartenait à R).
Plus généralement, on passera de (dimension 1, ordre n) à (dimension n, ordre 1)
en écrivant l’équation différentielle :
= o U ’ T ’
d ' ^ - ' f
dt"
d t ’ d f- ’ ’ dt" ^
TJ
O
c
rj
û
«JD tH
O
C M
(S)
SI
C TI
‘s_
>C L
O
U
SOUS la forme d’une équation différentielle vectorielle x = /(x), où x est le vecteur de
R'^ suivant :
X =
i
\
-Ï2
d ^ /d t
^n— \
d"-^^/dt"-^
, d ’’- '^ ld t" - ' ,
En effet, on a :
X =
' i l '
^0 1 0 . . . 0 '
X2
0 0 1 . . . 0
•
= * * * ", *
■
+
^n -\
0 0 0 . . . 1
^n—\
K
>
, 0 0 0 . . . 0 , <
)
<
0
0
0
g(X i, X2,
Xn)j
À l’image des exemples précédents, l’espace des états est dans de nombreux cas un
d o m a in e O de l’espace R". On l’appelle aussi espace des phases, terminologie introduite par Poincaré. Nous rappelons qu’un domaine est un ouvert connexe, c’est-à-dire
composé « d’un seul morceau ». La pertinence de cette hypothèse est justifiée par le