g é n é r a l i t é s
SUR LES SYSTÈMES
DIFFÉRENTIELS
■a
O
c
=3
Q
tH
O
(N
x :
ai
>Q.
O
U
1 . 1
I n t r o d u c t i o n
Un système dynamique est un ensemble mécanique, physique, économique, environnemental ou de tout autre domaine dont l’état (ensemble de grandeurs suffisant à
qualifier le système) évolue en fonction du temps. L’étude de l’évolution d’un système nécessite donc la connaissance :
• de son état initial, c’est-à-dire son état à l’instant to ;
• de sa loi d’évolution.
Un système peut être :
• à te m p s c o n tin u : ce livre accorde une part importante à ce cas, qui est le plus
fréquent ;
• à te m p s d is c r e t : les systèmes à temps discret font l’objet des chapitres 10 et 12. Il
faut noter que toute simulation numérique d’un système à temps continu implique
une discrétisation du temps.
Il peut également être :
• autonome, si sa loi d’évolution ne dépend pas du temps (la loi est alors dite stationnaire) ;
• non autonome ; sa loi d’évolution dépend alors du temps.
• Un premier exemple : l’oscillateur harmonique est un exemple de système autonome à temps continu.
Le déplacement horizontal ^ d’une masse fixée à l’extrémité d’un ressort est régi
J par l’équation différentielle : —^
= 0, où oi dépend des paramètres du proy
I blême. Cet exemple simple est instructif car il permet déjà de cerner ce qu’on va
0
1 appeler état et qu’on notera jc.
=
Nous allons mettre en effet la loi d’évolution du système sous la forme :
0
1
d x
1
^
û
@
Cette forme est suffisamment générale pour englober un grand nombre de systèmes
que l’ingénieur, le physicien ou l’économiste aura à étudier.
SUR LES SYSTÈMES
DIFFÉRENTIELS
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I n t r o d u c t i o n
Un système dynamique est un ensemble mécanique, physique, économique, environnemental ou de tout autre domaine dont l’état (ensemble de grandeurs suffisant à
qualifier le système) évolue en fonction du temps. L’étude de l’évolution d’un système nécessite donc la connaissance :
• de son état initial, c’est-à-dire son état à l’instant to ;
• de sa loi d’évolution.
Un système peut être :
• à te m p s c o n tin u : ce livre accorde une part importante à ce cas, qui est le plus
fréquent ;
• à te m p s d is c r e t : les systèmes à temps discret font l’objet des chapitres 10 et 12. Il
faut noter que toute simulation numérique d’un système à temps continu implique
une discrétisation du temps.
Il peut également être :
• autonome, si sa loi d’évolution ne dépend pas du temps (la loi est alors dite stationnaire) ;
• non autonome ; sa loi d’évolution dépend alors du temps.
• Un premier exemple : l’oscillateur harmonique est un exemple de système autonome à temps continu.
Le déplacement horizontal ^ d’une masse fixée à l’extrémité d’un ressort est régi
J par l’équation différentielle : —^
= 0, où oi dépend des paramètres du proy
I blême. Cet exemple simple est instructif car il permet déjà de cerner ce qu’on va
0
1 appeler état et qu’on notera jc.
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Nous allons mettre en effet la loi d’évolution du système sous la forme :
0
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Cette forme est suffisamment générale pour englober un grand nombre de systèmes
que l’ingénieur, le physicien ou l’économiste aura à étudier.