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CL
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5.5. Évolution d’un portrait de phases
• Figure 5.5 de droite : le même portrait de phases est agrandi et légèrement dilaté
en abscisse : la courbure infinie (rayon de courbure nul) se perçoit mieux, sachant
que toutes les orbites hors D\ sont tangentes à D2. Ce dernier fait est masqué par la
nullité des rayons de courbure en 0. Le portrait peut ainsi évoquer à tort un faisceau
de courbes dont les tangentes en 0 sont distinctes. Ce phénomène qu’on pourrait
nommer répulsion d’orbites est l’opposé du phénomène de confusion d’orbites.
6® cas : // = 0 : alors, y = 0 et.4 = | |
possède la valeur propre double -1 et
n’est plus semi-simple. Les droites D\ et D2 se sont refermées sur l’axe des ordonnées, avec lequel elles sont confondues. La zone à courbure positive a disparu.
Hors D\ = D2, la courbure d’une trajectoire tend vers -ex? quand r — > 00. Le
système n’estpas semi-simple, comme le montre l’exercice 5.3.
Exercice 5.3 Équations d’orbites
1. Montrer que le système z = A z avec A = | J n’est pas semi-simple, et
vérifier que y = x \n x (x e R* ) est l’équation d’une orbite.
2. En déduire que toute orbite non rectiligne est homothétique de l’orbite y =
X In X ( x G R* ).
Figure 5.6 - Portrait de phases pour ¡1 = 0 .
Les orbites non rectilignes sont homothétiques de l’orbite )/ = x In x (x > 0).
On peut d’ailleurs à partir des équations retrouver le comportement de la courbure, dont
l’expression classique est
m
(1 +K'2)3/2û
©
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en abscisse : la courbure infinie (rayon de courbure nul) se perçoit mieux, sachant
que toutes les orbites hors D\ sont tangentes à D2. Ce dernier fait est masqué par la
nullité des rayons de courbure en 0. Le portrait peut ainsi évoquer à tort un faisceau
de courbes dont les tangentes en 0 sont distinctes. Ce phénomène qu’on pourrait
nommer répulsion d’orbites est l’opposé du phénomène de confusion d’orbites.
6® cas : // = 0 : alors, y = 0 et.4 = | |
possède la valeur propre double -1 et
n’est plus semi-simple. Les droites D\ et D2 se sont refermées sur l’axe des ordonnées, avec lequel elles sont confondues. La zone à courbure positive a disparu.
Hors D\ = D2, la courbure d’une trajectoire tend vers -ex? quand r — > 00. Le
système n’estpas semi-simple, comme le montre l’exercice 5.3.
Exercice 5.3 Équations d’orbites
1. Montrer que le système z = A z avec A = | J n’est pas semi-simple, et
vérifier que y = x \n x (x e R* ) est l’équation d’une orbite.
2. En déduire que toute orbite non rectiligne est homothétique de l’orbite y =
X In X ( x G R* ).
Figure 5.6 - Portrait de phases pour ¡1 = 0 .
Les orbites non rectilignes sont homothétiques de l’orbite )/ = x In x (x > 0).
On peut d’ailleurs à partir des équations retrouver le comportement de la courbure, dont
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