T J
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c
rj
û
kD 1 -H
O
rs]
@
ai
>•
CL
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U
Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
4^ cas : ¡i = -1 /9 : a lo rs , y =
e t y4 = | J
L e s v a le u rs p r o p r e s s o n t
À\ = - 4 / 3 e t À2 = - 2 / 3 . L e s s o u s - e s p a c e s p r o p re s d e d im e n s io n 1 s o n t le s d r o ite s
D\ e t D 2. C o m m e À\lÀ2 = 2 , la c o u r b u r e d ’u n e o r b ite (h o rs D\ e t D 2) te n d v e rs u n e
v a le u r fin ie n o n n u lle . D a n s le c ô n e \x\ < v\y\, la c o u r b u r e d e s tr a je c to ir e s (v o ir le
§ 5 .3 ) e s t p o s itiv e . E lle e s t n é g a tiv e d a n s le c ô n e \x\ > v\y\.
Figure 5.4- Portrait de phases pour fi = -1/9.
Ce cas est le seul pour lequel la courbure d’une orbite (hors D] et Dz) tend vers une valeur
finie non-nulle quand l’état tend vers 0.
5® c a s : —1 /9 <
< 0 : a lo rs , 0 < v < 1/3. Q u a n d la v a le u r d e ¡i a u g m e n te , le s d r o ite s
D\ e t D 2 s e r e s s e r r e n t s u r l ’a x e d e s o r d o n n é e s , r e s tr e ig n a n t a in s i l ’e s p a c e d é v o lu a u x
tr a je c to ir e s à c o u r b u r e p o s itiv e . L e r a p p o r t À\IX2 a p p a r tie n t à ]1 , 2\ : il e n r é s u lte q u e
la c o u r b u r e d ’u n e tra je c to ir e (h o rs D\ e t D 2 ) te n d v e rs ±00 q u a n d t ^ 00.
L e p o r tr a it d e p h a s e s p r é s e n te d e g r a n d e s s im ilitu d e s a v e c c e lu i d u 4® c a s. L e s
d e u x tr a je c to ir e s « p r e s q u e v e r tic a le s » s o n t e n f a it d e c o u r b u r e p o s itiv e .
Figure 5.5 - Portrait de phases pour -1/9 • F ig u r e 5 .5 d e g a u c h e : la te n d a n c e d e la c o u r b u r e d e s o r b ite s v e rs l ’in fin i à
l ’a p p r o c h e d e 0 e s t u n e d iff é re n c e g é o m é tr iq u e m a je u r e ... m a is n ’a p p a ra ît p a s d e
f a ç o n f r a p p a n te à l ’é c h e lle d e la fig u re .
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Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
4^ cas : ¡i = -1 /9 : a lo rs , y =
e t y4 = | J
L e s v a le u rs p r o p r e s s o n t
À\ = - 4 / 3 e t À2 = - 2 / 3 . L e s s o u s - e s p a c e s p r o p re s d e d im e n s io n 1 s o n t le s d r o ite s
D\ e t D 2. C o m m e À\lÀ2 = 2 , la c o u r b u r e d ’u n e o r b ite (h o rs D\ e t D 2) te n d v e rs u n e
v a le u r fin ie n o n n u lle . D a n s le c ô n e \x\ < v\y\, la c o u r b u r e d e s tr a je c to ir e s (v o ir le
§ 5 .3 ) e s t p o s itiv e . E lle e s t n é g a tiv e d a n s le c ô n e \x\ > v\y\.
Figure 5.4- Portrait de phases pour fi = -1/9.
Ce cas est le seul pour lequel la courbure d’une orbite (hors D] et Dz) tend vers une valeur
finie non-nulle quand l’état tend vers 0.
5® c a s : —1 /9 <
< 0 : a lo rs , 0 < v < 1/3. Q u a n d la v a le u r d e ¡i a u g m e n te , le s d r o ite s
D\ e t D 2 s e r e s s e r r e n t s u r l ’a x e d e s o r d o n n é e s , r e s tr e ig n a n t a in s i l ’e s p a c e d é v o lu a u x
tr a je c to ir e s à c o u r b u r e p o s itiv e . L e r a p p o r t À\IX2 a p p a r tie n t à ]1 , 2\ : il e n r é s u lte q u e
la c o u r b u r e d ’u n e tra je c to ir e (h o rs D\ e t D 2 ) te n d v e rs ±00 q u a n d t ^ 00.
L e p o r tr a it d e p h a s e s p r é s e n te d e g r a n d e s s im ilitu d e s a v e c c e lu i d u 4® c a s. L e s
d e u x tr a je c to ir e s « p r e s q u e v e r tic a le s » s o n t e n f a it d e c o u r b u r e p o s itiv e .
Figure 5.5 - Portrait de phases pour -1/9 • F ig u r e 5 .5 d e g a u c h e : la te n d a n c e d e la c o u r b u r e d e s o r b ite s v e rs l ’in fin i à
l ’a p p r o c h e d e 0 e s t u n e d iff é re n c e g é o m é tr iq u e m a je u r e ... m a is n ’a p p a ra ît p a s d e
f a ç o n f r a p p a n te à l ’é c h e lle d e la fig u re .
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