5.5. Évolution d’un portrait de phases
Figure 5.2 - Portrait de phases pour // = -1
3^ cas : —1 < ^ < —1/9 : a lo rs , le s v a le u r s p r o p r e s - 1 ± y s o n t to u te s d e u x n é g a tiv e s .
L e s y s tè m e r e d e v ie n t h y p e r b o liq u e , m a is d ’in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il e s t d o n c a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le e t n ’e s t c o n ju g u é à a u c u n d e s s y s tè m e s c o r r e s p o n d a n t a u x c a s 1 e t 2.
L e s o r b ite s s o n t p o r té e s p a r d e s c o u r b e s d ’a llu r e p a r a b o liq u e . O n a 1/3 < y < 1,
e t le r a p p o r t À\lÀ2 e s t s tr ic te m e n t s u p é r ie u r à 2. L a c o u r b u r e d ’u n e o rb ite , q u e l q u e
s o it le p o in t in itia l zo ^ 0 , te n d v e rs 0 lo rs q u e t ^ oo. Il e n r é s u lte q u e le s o r b ite s
s ’« é c r a s e n t » s u r la d r o ite D 2 d ’é q u a tio n x = - y y, q u i e s t le s o u s -e s p a c e p r o p re
a s s o c ié à /I2 = - 1 + y. Il y a à n o u v e a u p h é n o m è n e d e co n fu sio n d^orbites.
T J
O
c
:3
Q
kD
O
rs]
O J
>Q .
O
U
Figure 5.3 - Portrait de phases pour ^ = -4/9.
La figure est tracée pour ¡j = -4/9, soit pour v = 2/3, ce qui conduit à un rapport \À\IÀ2\ = 5,
valeur importante qui explique la netteté du phénomène de confusion d’orbites; ce phénomène est moins radical toutefois que celui de la figure 5.1.
Q
©
C o n tr a ir e m e n t a u p r e m ie r c a s , la c o n f u s io n d ’o r b ite s n e se f a it p a s a u v o is in a g e
d ’u n e a s y m p to te , m a is a u v o is in a g e d ’u n e ta n g e n te c o m m u n e à l ’é q u ilib r e : il s ’a g it
d e D 2 d a n s le s d e u x c a s. A la tra v e rs é e d e la v a le u r ¡j = - 1 , il y a bifurcation :
in itia le m e n t c o l, l ’é q u ilib r e d e v ie n t u n n œ u d .
75
Figure 5.2 - Portrait de phases pour // = -1
3^ cas : —1 < ^ < —1/9 : a lo rs , le s v a le u r s p r o p r e s - 1 ± y s o n t to u te s d e u x n é g a tiv e s .
L e s y s tè m e r e d e v ie n t h y p e r b o liq u e , m a is d ’in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il e s t d o n c a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le e t n ’e s t c o n ju g u é à a u c u n d e s s y s tè m e s c o r r e s p o n d a n t a u x c a s 1 e t 2.
L e s o r b ite s s o n t p o r té e s p a r d e s c o u r b e s d ’a llu r e p a r a b o liq u e . O n a 1/3 < y < 1,
e t le r a p p o r t À\lÀ2 e s t s tr ic te m e n t s u p é r ie u r à 2. L a c o u r b u r e d ’u n e o rb ite , q u e l q u e
s o it le p o in t in itia l zo ^ 0 , te n d v e rs 0 lo rs q u e t ^ oo. Il e n r é s u lte q u e le s o r b ite s
s ’« é c r a s e n t » s u r la d r o ite D 2 d ’é q u a tio n x = - y y, q u i e s t le s o u s -e s p a c e p r o p re
a s s o c ié à /I2 = - 1 + y. Il y a à n o u v e a u p h é n o m è n e d e co n fu sio n d^orbites.
T J
O
c
:3
Q
kD
O
rs]
O J
>Q .
O
U
Figure 5.3 - Portrait de phases pour ^ = -4/9.
La figure est tracée pour ¡j = -4/9, soit pour v = 2/3, ce qui conduit à un rapport \À\IÀ2\ = 5,
valeur importante qui explique la netteté du phénomène de confusion d’orbites; ce phénomène est moins radical toutefois que celui de la figure 5.1.
Q
©
C o n tr a ir e m e n t a u p r e m ie r c a s , la c o n f u s io n d ’o r b ite s n e se f a it p a s a u v o is in a g e
d ’u n e a s y m p to te , m a is a u v o is in a g e d ’u n e ta n g e n te c o m m u n e à l ’é q u ilib r e : il s ’a g it
d e D 2 d a n s le s d e u x c a s. A la tra v e rs é e d e la v a le u r ¡j = - 1 , il y a bifurcation :
in itia le m e n t c o l, l ’é q u ilib r e d e v ie n t u n n œ u d .
75