Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
se c o n f o n d r e e n tr e e lle s e t a v e c D 2 p o u r \x\ s u ff is a m m e n t g r a n d . C e p h é n o m è n e d e
confusion d’orbites e s t c o u r a n t d a n s le s p o r tr a its d e p h a s e s e t m é r ite d ’ê tr e s ig n a lé
c a r il e s t p o r te u r d e s e n s. D a n s le c a s p r é s e n t, il s ig n if ie q u e la v a le u r p r o p re n é g a tiv e
a u n e v a le u r a b s o lu e p lu s g r a n d e q u e la v a le u r p r o p r e p o s itiv e .
F ig u re 5.1 - Portrait de phases pour // = -1,44.
La figure est tracée pour /u = -1,44, soit pour v = 1,2, ce qui conduit à un rapport
Mi/zizl =11: cette valeur importante explique le caractère net de la confusion d’orbites.
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
R e m a r q u e s
1. En toute rigueur, le rapprochement d’orbites existe aussi, dans notre exemple,
pour |x| suffisamment grand, au voisinage de D| puisque toutes les orbites admettent cette droite comme asymptote : mais les dimensions de la figure 5.1 ne
sont pas assez importantes pour le mettre en évidence.
2. Pour le système z =
orbites sont des hyperboles équilatères; le
rapprochement d’orbites est équivalent sur les quatre demi-droites concernées,
mais généralement pas suffisant pour aboutir à une confusion d’orbites vraiment
observable.
2® cas : / i = - 1 : a lo r s , y = 1, e t >4 = | J j j . L e s v a le u r s p r o p r e s s o n t À\ = - 2 e t
À2 = 0. L e s y s tè m e n ’e s t p lu s h y p e r b o liq u e . S o n in d ic e e s t (1,1, 0 ). L ’e n s e m b le S
d e s é q u ilib r e s e s t la d e u x iè m e b is s e c tr ic e x + y = 0. T o u s le s é q u ilib r e s s o n t s ta b le s ,
m a is n e s o n t p a s a ttr a c tif s . H o r s é q u ilib r e s , le s o r b ite s s o n t le s d e m i- d r o ite s o u v e rte s
d e p e n te 1 lim ité e s p a r 8 .
L e s y s tè m e n ’e s t p lu s c o n ju g u é a u s y s tè m e o b te n u p o u r jj. < -1. Il y a bifurcation.
L ’e x a m e n d e s fig u re s 5.1 e t 5 .2 m o n tr e c o m m e n t o n p a s s e d u p r e m ie r a u d e u x iè m e
c a s . L o r s q u e yu c r o ît v e rs - 1 , le s tr a je c to ir e s se r a p p r o c h e n t d e D 2, p o u r v e n ir s ’y
a r r ê te r (e n u n p o in t p r é c is m a is e n u n te m p s in fin i) lo r s q u e yu = - 1, v a le u r p o u r
la q u e lle D 2 d e v ie n t l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s 8 .
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se c o n f o n d r e e n tr e e lle s e t a v e c D 2 p o u r \x\ s u ff is a m m e n t g r a n d . C e p h é n o m è n e d e
confusion d’orbites e s t c o u r a n t d a n s le s p o r tr a its d e p h a s e s e t m é r ite d ’ê tr e s ig n a lé
c a r il e s t p o r te u r d e s e n s. D a n s le c a s p r é s e n t, il s ig n if ie q u e la v a le u r p r o p re n é g a tiv e
a u n e v a le u r a b s o lu e p lu s g r a n d e q u e la v a le u r p r o p r e p o s itiv e .
F ig u re 5.1 - Portrait de phases pour // = -1,44.
La figure est tracée pour /u = -1,44, soit pour v = 1,2, ce qui conduit à un rapport
Mi/zizl =11: cette valeur importante explique le caractère net de la confusion d’orbites.
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q.
O
U
R e m a r q u e s
1. En toute rigueur, le rapprochement d’orbites existe aussi, dans notre exemple,
pour |x| suffisamment grand, au voisinage de D| puisque toutes les orbites admettent cette droite comme asymptote : mais les dimensions de la figure 5.1 ne
sont pas assez importantes pour le mettre en évidence.
2. Pour le système z =
orbites sont des hyperboles équilatères; le
rapprochement d’orbites est équivalent sur les quatre demi-droites concernées,
mais généralement pas suffisant pour aboutir à une confusion d’orbites vraiment
observable.
2® cas : / i = - 1 : a lo r s , y = 1, e t >4 = | J j j . L e s v a le u r s p r o p r e s s o n t À\ = - 2 e t
À2 = 0. L e s y s tè m e n ’e s t p lu s h y p e r b o liq u e . S o n in d ic e e s t (1,1, 0 ). L ’e n s e m b le S
d e s é q u ilib r e s e s t la d e u x iè m e b is s e c tr ic e x + y = 0. T o u s le s é q u ilib r e s s o n t s ta b le s ,
m a is n e s o n t p a s a ttr a c tif s . H o r s é q u ilib r e s , le s o r b ite s s o n t le s d e m i- d r o ite s o u v e rte s
d e p e n te 1 lim ité e s p a r 8 .
L e s y s tè m e n ’e s t p lu s c o n ju g u é a u s y s tè m e o b te n u p o u r jj. < -1. Il y a bifurcation.
L ’e x a m e n d e s fig u re s 5.1 e t 5 .2 m o n tr e c o m m e n t o n p a s s e d u p r e m ie r a u d e u x iè m e
c a s . L o r s q u e yu c r o ît v e rs - 1 , le s tr a je c to ir e s se r a p p r o c h e n t d e D 2, p o u r v e n ir s ’y
a r r ê te r (e n u n p o in t p r é c is m a is e n u n te m p s in fin i) lo r s q u e yu = - 1, v a le u r p o u r
la q u e lle D 2 d e v ie n t l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s 8 .
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