5.5. Évolution d’un portrait de phases
5.5 ÉVOLUTION d ’un p o r t r a it d e p h a s es
T J
O
c
rj
û
Ю
tH
O
ГМ
X I
OJ
>C L
O
U
L o r s q u ’u n s y s tè m e d y n a m iq u e d é p e n d d ’u n p a r a m è tr e , il e s t in té r e s s a n t d ’o b s e r v e r
c o m m e n t s o n p o r tr a it d e p h a s e s é v o lu e e n f o n c tio n d u p a r a m è tr e . L ’e x e m p le q u i s u it
e s t s im p le , c a r il s ’a g it d ’u n s y s tè m e lin é a ir e d e d im e n s io n 2. Il e s t to u te f o is i n s tr u c tif
c a r il m o n tr e c o m m e n t u n p o r tr a it d e p h a s e s p e u t é v o lu e r q u a lita tiv e m e n t a u f r a n c h is
s e m e n t d ’u n e c e r ta in e v a le u r d u p a r a m è tr e : o n p a rle a lo r s d e bifurcation, n o tio n q u i
f e r a l ’o b je t d u c h a p itr e 9. N o u s c o n s ta te r o n s n a tu r e lle m e n t q u e c e rta in e s p r o p r ié té s
g é o m é tr iq u e s p e u v e n t é v o lu e r h o rs d e to u te b ifu r c a tio n .
Ix\
S o it S le s y s tè m e d y n a m iq u e d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n : z = A .z a v e c Z =
<У1
O n p r e n d
, o ù JJ e s t u n p a r a m è tr e ré e l.
N o to n s q u e si l ’o n c o n s id è r e le s y s tè m e (n o té A S) d ’é q u a tio n z = (AA).z a v e c À e
R * , le s tr a je c to ir e s (e n ta n t q u e s o lu tio n s d e l ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n ) s o n t m o d if ié e s ,
m a is p a s le s o r b ite s (e n ta n t q u e s o u s - e n s e m b le s d e R ^ ) : la « v ite s s e » d e p a s s a g e z e n
u n p o in t d o n n é e s t m u ltip lié e p a r À. P o u r Л < 0 , le s s y s tè m e s S e t AS p e u v e n t n e p a s
ê tr e c o n ju g u é s . N é a n m o in s , ils p o s s è d e n t le s m ê m e s p o r tr a its o r b ita u x ( e n s e m b le s
d e s o r b ite s ) e t s o n t d its p o u r c e là orbitalement équivalents.
N o u s a llo n s o b s e r v e r l ’é v o lu tio n d u p o r tr a it d e p h a s e s lo rs q u e ji p a r c o u r t R .
P o u r JJ < 0, c ’e s t- à - d ir e p o u r le s s ix p r e m ie r s d e s s e p t c a s é v o q u é s c i- a p rè s , n o u s
9
/—1 —
p o s o n s jj = - y , a v e c y > 0 . D a n s c e c a s , Л = I ^
^ 1 .
L e s d e u x v a le u r s p r o p re s s o n t :
A\ = - \ - V , to u jo u r s n é g a tiv e .
L a d r o ite p r o p re D\ c o r r e s p o n d a n te e s t x — vy \
Л2 = - 1 + V , d o n t le s ig n e d é p e n d d e y.
L a d r o ite p r o p r e D 2 c o r r e s p o n d a n te e s t л: = —vy.
cas : /I < —1 : d a n s c e c a s , y > 1. A lo r s , le s d e u x v a le u r s p r o p r e s s o n t d e s ig n e s
o p p o s é s . L e s y s tè m e e s t h y p e r b o liq u e e t o n s e tro u v e d a n s le c a s n°
d u § 5 .2 .
L ’in d ic e d u s y s tè m e e s t ( 1 , 0 , 1 ) .
E n d e h o r s d e s d r o ite s D\ e t D 2, le s o r b ite s s o n t d ’a llu r e h y p e r b o liq u e e t a d m e tte n t
D] e t D 2 c o m m e a s y m p to te s . N é a n m o in s , c e n e s o n t p a s d e s a rc s d ’h y p e r b o le s c a r le s
d e u x v a le u rs p r o p r e s s o n t d iff é re n te s . C o m m e | - l - y | > | - l + y | , to u te tra je c to ir e (h o rs
a s y m p to te s ) s e r a p p r o c h e d e D 2 p lu s v ite q u ’e lle n e s ’é lo ig n e d e D \. C e p h é n o m è n e
Л 1
e s t d ’a u ta n t p lu s m a r q u é q u e le r a p p o r t
A 2
e s t g ra n d . A in s i, d a n s u n e r e p r é s e n ta tio n
û
@
g r a p h iq u e , la d is ta n c e e n tr e d e u x o r b ite s d e m ê m e a s y m p to te p o r té e p a r D 2 p e u te lle c o u r a m m e n t d e v e n ir in f é r ie u r e à l ’é p a is s e u r d u tra c é : le s o r b ite s s e m b le n t a lo rs
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c o m m e n t s o n p o r tr a it d e p h a s e s é v o lu e e n f o n c tio n d u p a r a m è tr e . L ’e x e m p le q u i s u it
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u n p o in t d o n n é e s t m u ltip lié e p a r À. P o u r Л < 0 , le s s y s tè m e s S e t AS p e u v e n t n e p a s
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N o u s a llo n s o b s e r v e r l ’é v o lu tio n d u p o r tr a it d e p h a s e s lo rs q u e ji p a r c o u r t R .
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L e s d e u x v a le u r s p r o p re s s o n t :
A\ = - \ - V , to u jo u r s n é g a tiv e .
L a d r o ite p r o p re D\ c o r r e s p o n d a n te e s t x — vy \
Л2 = - 1 + V , d o n t le s ig n e d é p e n d d e y.
L a d r o ite p r o p r e D 2 c o r r e s p o n d a n te e s t л: = —vy.
cas : /I < —1 : d a n s c e c a s , y > 1. A lo r s , le s d e u x v a le u r s p r o p r e s s o n t d e s ig n e s
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d u § 5 .2 .
L ’in d ic e d u s y s tè m e e s t ( 1 , 0 , 1 ) .
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