Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
S i m a in te n a n t F e s t u n c y c le d u s y s tè m e , c o m m e / lu i e s t e n to u t p o in t ta n g e n t, le flu x
( te r m e d e d r o ite ) e s t n u l. O r, si D iv / e s t s tr ic te m e n t d e m ê m e s ig n e p r e s q u e p a r to u t
d a n s O , il e n e s t d e m ê m e d u te r m e d e g a u c h e . C o m m e c e s d e u x c o n s ta ta tio n s s o n t
c o n tr a d ic to ir e s , o n p e u t é n o n c e r le r é s u lta t s u iv a n t :
Critère de Bendixson
Si / e s t d e c la s s e
d a n s le d o m a in e p la n s im p le m e n t c o n n e x e O e t si D iv / y
e s t p r e s q u e p a r to u t s tr ic te m e n t d e m ê m e s ig n e , a lo rs le s y s tè m e x = f{x) n ’a d m e t
a u c u n c y c le d a n s O .
Rem arques
1. Ce résultat est invalide dès la dimension 3. Par exemple, pour le système linéaire
^0 - I 0^
¿ = f(z) = \ 0 0 Z dans Q = R/ on a en tout point Div / = 1. Cependant, il y a une
lo 0 ij
infinité de cycles qui sont les cercles de centre 0 dans le plan de cote nulle.
2. Le résultat est invalide aussi si le domaine plan est connexe sans être simplement
'x
connexe. L’exemple du système
+ {x^ + / - I)rI montre que dans une
couronne (qui est un ouvert connexe, donc un domaine) convenable la divergence
est en tout point positive et il y a néanmoins un cycle dans la couronne. Le développement de cet exemple fait l’objet de l’exercice suivant.
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
E x e r c ic e 5 .2 B en d ix so n : n é c e s s it é d e la sim p le c o n n e x ité
L ’e x e r c ic e m o n tr e la n é c e s s ité d e l ’h y p o th è s e « s im p le m e n t c o n n e x e » p o u r l ’a p p lic a tio n d u c r itè r e d e B e n d ix s o n .
O n c o n s id è r e le s y s tè m e
= f(x, y) a v e c :
f(x, y) = (x^ + y^ - 1)| J +
d é fin i s u r R^*.
1. C a lc u le r D i v / . V é r if ie r q u e D iv / > 0 d a n s l ’a n ti- d is q u e x^ + y^ > 1/2.
2 . S o it D la c o u r o n n e o u v e r te lim ité e p a r le s c e r c le s d e c e n tr e 0 e t d e r a y o n s r e s
p e c tifs 3 /4 e t 2. M o n tr e r q u ’e n to u t p o in t d e D o n a D i v / > 1/4, e t q u e D
c o n tie n t u n c y c le ( o rb ite p é rio d iq u e ) .
N ota : ce c y c le a d é jà été d é te rm in é au p ro b lè m e 5 .1 .
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S i m a in te n a n t F e s t u n c y c le d u s y s tè m e , c o m m e / lu i e s t e n to u t p o in t ta n g e n t, le flu x
( te r m e d e d r o ite ) e s t n u l. O r, si D iv / e s t s tr ic te m e n t d e m ê m e s ig n e p r e s q u e p a r to u t
d a n s O , il e n e s t d e m ê m e d u te r m e d e g a u c h e . C o m m e c e s d e u x c o n s ta ta tio n s s o n t
c o n tr a d ic to ir e s , o n p e u t é n o n c e r le r é s u lta t s u iv a n t :
Critère de Bendixson
Si / e s t d e c la s s e
d a n s le d o m a in e p la n s im p le m e n t c o n n e x e O e t si D iv / y
e s t p r e s q u e p a r to u t s tr ic te m e n t d e m ê m e s ig n e , a lo rs le s y s tè m e x = f{x) n ’a d m e t
a u c u n c y c le d a n s O .
Rem arques
1. Ce résultat est invalide dès la dimension 3. Par exemple, pour le système linéaire
^0 - I 0^
¿ = f(z) = \ 0 0 Z dans Q = R/ on a en tout point Div / = 1. Cependant, il y a une
lo 0 ij
infinité de cycles qui sont les cercles de centre 0 dans le plan de cote nulle.
2. Le résultat est invalide aussi si le domaine plan est connexe sans être simplement
'x
connexe. L’exemple du système
+ {x^ + / - I)rI montre que dans une
couronne (qui est un ouvert connexe, donc un domaine) convenable la divergence
est en tout point positive et il y a néanmoins un cycle dans la couronne. Le développement de cet exemple fait l’objet de l’exercice suivant.
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
E x e r c ic e 5 .2 B en d ix so n : n é c e s s it é d e la sim p le c o n n e x ité
L ’e x e r c ic e m o n tr e la n é c e s s ité d e l ’h y p o th è s e « s im p le m e n t c o n n e x e » p o u r l ’a p p lic a tio n d u c r itè r e d e B e n d ix s o n .
O n c o n s id è r e le s y s tè m e
= f(x, y) a v e c :
f(x, y) = (x^ + y^ - 1)| J +
d é fin i s u r R^*.
1. C a lc u le r D i v / . V é r if ie r q u e D iv / > 0 d a n s l ’a n ti- d is q u e x^ + y^ > 1/2.
2 . S o it D la c o u r o n n e o u v e r te lim ité e p a r le s c e r c le s d e c e n tr e 0 e t d e r a y o n s r e s
p e c tifs 3 /4 e t 2. M o n tr e r q u ’e n to u t p o in t d e D o n a D i v / > 1/4, e t q u e D
c o n tie n t u n c y c le ( o rb ite p é rio d iq u e ) .
N ota : ce c y c le a d é jà été d é te rm in é au p ro b lè m e 5 .1 .
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