5.4. Critère de Bendixson
Remarques
1. Comme tout point d’inflexion est de courbure nulle, on peut dans l’énoncé précédent remplacer « points de courbure nulle » par « points d’inflexion ». L’énoncé
est alors moins général.
2. Certains auteurs définissent un point d’inflexion comme un point de courbure
nulle ; la courbe peut alors ne pas traverser sa tangente, comme la courbe d’équation y = évoquée plus haut à son point (0, 0).
3. En dehors des cas génériques y = (point d’inflexion classique) et y = (méplat
d’une fonction convexe), on peut imaginer d’autres physionomies géométriques :
par exemple, la courbe y = x'^sin^ avec ¿/(0) = 0 traverse une infinité de fois sa
tangente en 0.
P ro b lè m e 5. / Points d ’inflexion d es o rb ites
- / .2
.^1
■ if
O n c o n s id è r e le s y s tè m e n o n - lin é a ir e : \ \ = (x + y - jj)\ M -
, o ù yu e s t u n
X ,
p a r a m è tr e r é e l. O n n o te r a z =
\y/
\y)
’é ta t d u s y s tè m e , f{ z ) la f o n c tio n z
1. E n c o n s id é r a n t la c o m p o s a n te r a d ia le ( c o lin é a ir e à z) d e z, m o n tr e r q u ’il y a u n
c e rc le in v a r ia n t p a r le flo t si yu > 0, e t q u e ( 0 , 0) e s t le s e u l é q u ilib r e p o u r to u t yu.
2 . E n p r e n a n t e n c o m p te le c a ra c tè r e c e n tr ip è te o u c e n tr if u g e d u flo t, to u jo u r s à
p a r tir d e s a c o m p o s a n te r a d ia le , e s q u is s e r l ’a llu r e d e s o r b ite s p o u r yu = -1 p u is
p o u r jj = \.
3 . D é te r m in e r l ’e n s e m b le d e s p o in ts d ’in fle x io n d e s o rb ite s .
■a
O
c
n
Q
kD
O
CM
(y)
C TI
C L
O
U
û
@
5.4 C r it è r e d e Ben d ix s o n
O n r a p p e lle q u ’u n e n s e m b le sim plem ent co n n ex e e s t u n e n s e m b le c o n n e x e s u r le
q u e l to u te c o u r b e f e r m é e p e u t ê tr e r é d u ite à u n p o in t p a r d é f o r m a tio n c o n tin u e .
P a r e x e m p le , R a in s i q u e to u s s e s p a v é s s o n t s im p le m e n t c o n n e x e s , a lo r s q u e
r 2=" = r 2 - (0 , 0 ) n e l ’e s t p a s . E n e ffe t, le c e r c le x^ -i- x^ = 1 n e p e u t ê tre r é d u it
à u n p o in t, c a r (0 , 0) f a it o b s ta c le à c e tte o p é ra tio n .
S o it le s y s tè m e S : x = / ( x ) , o ù x = ( x i , X2) G R ^ e t s o it / d e c la s s e C ' d a n s
u n d o m a in e s im p le m e n t c o n n e x e O d e R ^ . S i F e s t u n c ir c u it ( c h e m in f e r m é ) d e Q
s a n s p o in t d o u b le e t A s o n in té r ie u r, le théorème de Green e x p r im e l ’é g a lité e n tr e
l ’in té g r a le s u r A d e la d iv e r g e n c e d e / e t le flu x d e / à tra v e rs F , c ’e s t- à - d ir e :
i f D i v f d x i d x 2 = (p f A d x
J J à
J r
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Remarques
1. Comme tout point d’inflexion est de courbure nulle, on peut dans l’énoncé précédent remplacer « points de courbure nulle » par « points d’inflexion ». L’énoncé
est alors moins général.
2. Certains auteurs définissent un point d’inflexion comme un point de courbure
nulle ; la courbe peut alors ne pas traverser sa tangente, comme la courbe d’équation y = évoquée plus haut à son point (0, 0).
3. En dehors des cas génériques y = (point d’inflexion classique) et y = (méplat
d’une fonction convexe), on peut imaginer d’autres physionomies géométriques :
par exemple, la courbe y = x'^sin^ avec ¿/(0) = 0 traverse une infinité de fois sa
tangente en 0.
P ro b lè m e 5. / Points d ’inflexion d es o rb ites
- / .2
.^1
■ if
O n c o n s id è r e le s y s tè m e n o n - lin é a ir e : \ \ = (x + y - jj)\ M -
, o ù yu e s t u n
X ,
p a r a m è tr e r é e l. O n n o te r a z =
\y/
\y)
’é ta t d u s y s tè m e , f{ z ) la f o n c tio n z
1. E n c o n s id é r a n t la c o m p o s a n te r a d ia le ( c o lin é a ir e à z) d e z, m o n tr e r q u ’il y a u n
c e rc le in v a r ia n t p a r le flo t si yu > 0, e t q u e ( 0 , 0) e s t le s e u l é q u ilib r e p o u r to u t yu.
2 . E n p r e n a n t e n c o m p te le c a ra c tè r e c e n tr ip è te o u c e n tr if u g e d u flo t, to u jo u r s à
p a r tir d e s a c o m p o s a n te r a d ia le , e s q u is s e r l ’a llu r e d e s o r b ite s p o u r yu = -1 p u is
p o u r jj = \.
3 . D é te r m in e r l ’e n s e m b le d e s p o in ts d ’in fle x io n d e s o rb ite s .
■a
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c
n
Q
kD
O
CM
(y)
C TI
C L
O
U
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@
5.4 C r it è r e d e Ben d ix s o n
O n r a p p e lle q u ’u n e n s e m b le sim plem ent co n n ex e e s t u n e n s e m b le c o n n e x e s u r le
q u e l to u te c o u r b e f e r m é e p e u t ê tr e r é d u ite à u n p o in t p a r d é f o r m a tio n c o n tin u e .
P a r e x e m p le , R a in s i q u e to u s s e s p a v é s s o n t s im p le m e n t c o n n e x e s , a lo r s q u e
r 2=" = r 2 - (0 , 0 ) n e l ’e s t p a s . E n e ffe t, le c e r c le x^ -i- x^ = 1 n e p e u t ê tre r é d u it
à u n p o in t, c a r (0 , 0) f a it o b s ta c le à c e tte o p é ra tio n .
S o it le s y s tè m e S : x = / ( x ) , o ù x = ( x i , X2) G R ^ e t s o it / d e c la s s e C ' d a n s
u n d o m a in e s im p le m e n t c o n n e x e O d e R ^ . S i F e s t u n c ir c u it ( c h e m in f e r m é ) d e Q
s a n s p o in t d o u b le e t A s o n in té r ie u r, le théorème de Green e x p r im e l ’é g a lité e n tr e
l ’in té g r a le s u r A d e la d iv e r g e n c e d e / e t le flu x d e / à tra v e rs F , c ’e s t- à - d ir e :
i f D i v f d x i d x 2 = (p f A d x
J J à
J r
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