Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
Points de courbure nulle
P a r r a c c o u r c i d e la n g a g e , a p p e lo n s « p o in ts d e c o u rb u r e n u lle » le s p o in ts e n le s q u e ls
la tr a je c to ir e c o n c e r n é e e s t d e c o u r b u r e n u lle . C e s p o in ts s o n t e n g é n é ra l le s p o in ts
d ’in fle x io n , e n le s q u e ls l ’o r b ite tra v e rs e s a ta n g e n te , e t p lu s e x c e p tio n n e lle m e n t le s
« m é p la ts » ( e x e m p le : le p o in t (0 , 0) d e la c o u r b e d ’é q u a tio n y = x^) a u v o is in a g e
d e s q u e ls l ’o r b ite r e s te d u m ê m e c ô té d e la ta n g e n te . I d e n tifie r le s p o in ts d e c o u rb u r e
n u lle r e v ie n t s im p le m e n t à a n n u le r / A ( V / . / ) .
Cas des systèmes linéaires
P o u r u n s y s tè m e lin é a ir e , o n a l ’é q u iv a le n c e :
r iz ) = 0
[ / A ( V / . / ) ] , „ , = 0
(Az) A (A^z) = 0
T3
O
c
rj
Q
CD
1 -H
O
C M
4-1
x :
g i
>Q .
O
U
C e c i s ig n ifie q u e À^z e t A z s o n t c o lin é a ir e s , d o n c q u e A z e s t v e c te u r p r o p r e d e A ;
n ’o u b lio n s p a s q u e , z é ta n t ré g u lie r , on sl A z ^ 0.
S o it zo u n p o in t r é g u lie r d e c o u r b u r e n u lle . P o s o n s u = A zq. C o m m e zo e s t ré g u lie r ,
o n a w ^ 0 . D e p lu s . A u A u = 0 = » B d 6 R te l q u e A u = Àu. S i z (0 ) = zo, l ’é ta t à
l ’in s ta n t r G R e s t d o n n é p a r l ’e x p r e s s io n d u flo t :
( p i t , Z o ) = e^^zo
^
3
= [ / + M
^
^
+ • • • ] Zo (lu c o n v e rg e n c e d e la s é rie e s t to u jo u r s
a s s u r é e )
= Zo + tu + ^ A u + ^ A'^ u + ■ - ■ = Zo + tu + ^ À u + ^
u + ■ ■ •
S i d = 0 , Aw = 0 e t (p(t, Z o ) = z q + tu : le flo t r e p r é s e n te u n m o u v e m e n t r e c tilig n e
u n ifo r m e . O n e s t d a n s le c a s
u
S i d
0 , a lo r s (p{t, Zo) = Zo + T
d
d u p a r a g r a p h e 5 .2 . L ’o r b ite e s t r e c tilig n e .
2
/ î a 3
2!
3!
(piU Zo) = Zo + 7 (C^^ - 1). C e s o n t p a r e x e m p le le s c a s 6 o u
d u p a r a g r a p h e 5 .2 si
d
, c ’e s t- à - d ir e :
AzoHzo,
o u
d a n s le c a s c o n tr a ir e . L ’o r b ite e s t e n c o r e r e c tilig n e , m a is p a r c o u r u e
à v ite s s e e x p o n e n tie lle .
N o u s v e n o n s d e m o n tr e r q u e :
P o u r to u t s y s tè m e lin é a ir e d e d im e n s io n 2, s e u le s le s o r b ite s r e c tilig n e s p o s s è d e n t
d e s p o in ts d e c o u r b u r e n u lle , c e q u i e s t a lo r s le c a s d e to u s le u r s p o in ts . E lle s s o n t
d é c r ite s à v ite s s e c o n s ta n te o u e x p o n e n tie lle .
70
Points de courbure nulle
P a r r a c c o u r c i d e la n g a g e , a p p e lo n s « p o in ts d e c o u rb u r e n u lle » le s p o in ts e n le s q u e ls
la tr a je c to ir e c o n c e r n é e e s t d e c o u r b u r e n u lle . C e s p o in ts s o n t e n g é n é ra l le s p o in ts
d ’in fle x io n , e n le s q u e ls l ’o r b ite tra v e rs e s a ta n g e n te , e t p lu s e x c e p tio n n e lle m e n t le s
« m é p la ts » ( e x e m p le : le p o in t (0 , 0) d e la c o u r b e d ’é q u a tio n y = x^) a u v o is in a g e
d e s q u e ls l ’o r b ite r e s te d u m ê m e c ô té d e la ta n g e n te . I d e n tifie r le s p o in ts d e c o u rb u r e
n u lle r e v ie n t s im p le m e n t à a n n u le r / A ( V / . / ) .
Cas des systèmes linéaires
P o u r u n s y s tè m e lin é a ir e , o n a l ’é q u iv a le n c e :
r iz ) = 0
[ / A ( V / . / ) ] , „ , = 0
(Az) A (A^z) = 0
T3
O
c
rj
Q
CD
1 -H
O
C M
4-1
x :
g i
>Q .
O
U
C e c i s ig n ifie q u e À^z e t A z s o n t c o lin é a ir e s , d o n c q u e A z e s t v e c te u r p r o p r e d e A ;
n ’o u b lio n s p a s q u e , z é ta n t ré g u lie r , on sl A z ^ 0.
S o it zo u n p o in t r é g u lie r d e c o u r b u r e n u lle . P o s o n s u = A zq. C o m m e zo e s t ré g u lie r ,
o n a w ^ 0 . D e p lu s . A u A u = 0 = » B d 6 R te l q u e A u = Àu. S i z (0 ) = zo, l ’é ta t à
l ’in s ta n t r G R e s t d o n n é p a r l ’e x p r e s s io n d u flo t :
( p i t , Z o ) = e^^zo
^
3
= [ / + M
^
^
+ • • • ] Zo (lu c o n v e rg e n c e d e la s é rie e s t to u jo u r s
a s s u r é e )
= Zo + tu + ^ A u + ^ A'^ u + ■ - ■ = Zo + tu + ^ À u + ^
u + ■ ■ •
S i d = 0 , Aw = 0 e t (p(t, Z o ) = z q + tu : le flo t r e p r é s e n te u n m o u v e m e n t r e c tilig n e
u n ifo r m e . O n e s t d a n s le c a s
u
S i d
0 , a lo r s (p{t, Zo) = Zo + T
d
d u p a r a g r a p h e 5 .2 . L ’o r b ite e s t r e c tilig n e .
2
/ î a 3
2!
3!
(piU Zo) = Zo + 7 (C^^ - 1). C e s o n t p a r e x e m p le le s c a s 6 o u
d u p a r a g r a p h e 5 .2 si
d
, c ’e s t- à - d ir e :
AzoHzo,
o u
d a n s le c a s c o n tr a ir e . L ’o r b ite e s t e n c o r e r e c tilig n e , m a is p a r c o u r u e
à v ite s s e e x p o n e n tie lle .
N o u s v e n o n s d e m o n tr e r q u e :
P o u r to u t s y s tè m e lin é a ir e d e d im e n s io n 2, s e u le s le s o r b ite s r e c tilig n e s p o s s è d e n t
d e s p o in ts d e c o u r b u r e n u lle , c e q u i e s t a lo r s le c a s d e to u s le u r s p o in ts . E lle s s o n t
d é c r ite s à v ite s s e c o n s ta n te o u e x p o n e n tie lle .
70