5.3. Courbure d’une trajectoire plane
5.3 C o u r b u r e d ’une t r a j e c t o ir e p la n e
L o r s q u ’o n p r o g r e s s e a v e c t le lo n g d ’u n e tr a je c to ir e , c e lle - c i s ’in c u r v e v e rs la g a u c h e
o u v e rs la d r o ite : o n p a rle ra , d a n s le p la n e u c lid ie n o r ie n té , d ’u n e c o u rb u r e r e s p e c tiv e m e n t p o s itiv e o u n é g a tiv e . C e tte n o tio n d e s ig n e d ’u n e c o u rb u r e n ’a p lu s d e s e n s -
to u t c o m m e c e lle d ’a n g le o r ie n té - e n d im e n s io n s u p é r ie u r e à d e u x .
S u p p o s o n s le s y s tè m e S d e c la s s e C ^ . P r e n a n t le te m p s t c o m m e p a r a m è tr e d e
la tr a je c to ir e c o n s id é r é e c o m m e c o u r b e o r ie n té e , r a p p e lo n s c e r é s u lta t d e g é o m é tr ie
x i j — y X
e u c lid ie n n e : la c o u r b u r e a u p o in t régulier z = {x, y) e Çl e s t : y{z) - —^
N o to n s q u e la f o r m u le e s t v a la b le p o u r to u t p a r a m é tr a g e , te m p o r e l o u a u tre .
C e tte f o r m u le a u n e e x p r e s s io n p lu s s y n th é tiq u e : y{z) =
Z A Z
lÜF
C o m m e z e s t la
d é riv é e p a r tic u la ir e d e ¿, o n a z = V è . / : c e tte f o r m u le e s t d e f o rm e a n a lo g u e à
F = V F .f p o u r u n e f o n c tio n s c a la ir e F (v o ir § 6 .3 .1 ) e t s ’é ta b lit d e la m ê m e fa ç o n .
A u s s i p e u t- o n é c rire , a v e c d e s n o ta tio n s d iff é re n te s :
I l e st en tendu qu e le s v a le u rs du ch a m p f et de V e n d o m o rp h ism e V f so n t c e lle s
au p o in t Z, et qu e Vf.f re p ré se n te V a c tio n d e V o p é ra te u r Vf s u r le v e c te u r /.
Remarques
•a
O
c
13
û
O
rsl
(y)
‘s_
>.
C L
O
U
1. Dans la formule encadrée précédente, en tout point régulier, le dénominateur est
non-nul et le numérateur a une valeur finie. Ceci signifie que le rayon de courbure,
inverse de la courbure, ne peut pas être nul. Il peut en revanche être infini.
2. Le long d’une trajectoire, le rayon de courbure peut toutefois tendre vers 0 quand
t
o o , comme par exemple dans le cas 12 du § 5.2.
2
§ Cas d’un système linéaire
=
J
3 D a n s le c a s o ù S e s t lin é a ir e , o n a Cl = e t /(z) = A zI
A lo r s , V / = A e t V / . / ( z ) = A .Az = A^z.
3
c
O
g
O n a d o n c l ’e x p r e s s io n d u r a y o n d e c o u rb u r e :
O
S
/¿7 b\
^
A v e c A = ( ^ | u n c a lc u l s a n s d iffic u lté n o u s f o u r n it l ’e x p r e s s io n d e la c o u rb u r e
û
©
a u p o in t z = ( x , y ) : y(z) =
(ad - bc)[c x^ + (d - a) xy - by^-]
[{ax -h b y Ÿ -h (ex -h d y fV 'l^
69
5.3 C o u r b u r e d ’une t r a j e c t o ir e p la n e
L o r s q u ’o n p r o g r e s s e a v e c t le lo n g d ’u n e tr a je c to ir e , c e lle - c i s ’in c u r v e v e rs la g a u c h e
o u v e rs la d r o ite : o n p a rle ra , d a n s le p la n e u c lid ie n o r ie n té , d ’u n e c o u rb u r e r e s p e c tiv e m e n t p o s itiv e o u n é g a tiv e . C e tte n o tio n d e s ig n e d ’u n e c o u rb u r e n ’a p lu s d e s e n s -
to u t c o m m e c e lle d ’a n g le o r ie n té - e n d im e n s io n s u p é r ie u r e à d e u x .
S u p p o s o n s le s y s tè m e S d e c la s s e C ^ . P r e n a n t le te m p s t c o m m e p a r a m è tr e d e
la tr a je c to ir e c o n s id é r é e c o m m e c o u r b e o r ie n té e , r a p p e lo n s c e r é s u lta t d e g é o m é tr ie
x i j — y X
e u c lid ie n n e : la c o u r b u r e a u p o in t régulier z = {x, y) e Çl e s t : y{z) - —^
N o to n s q u e la f o r m u le e s t v a la b le p o u r to u t p a r a m é tr a g e , te m p o r e l o u a u tre .
C e tte f o r m u le a u n e e x p r e s s io n p lu s s y n th é tiq u e : y{z) =
Z A Z
lÜF
C o m m e z e s t la
d é riv é e p a r tic u la ir e d e ¿, o n a z = V è . / : c e tte f o r m u le e s t d e f o rm e a n a lo g u e à
F = V F .f p o u r u n e f o n c tio n s c a la ir e F (v o ir § 6 .3 .1 ) e t s ’é ta b lit d e la m ê m e fa ç o n .
A u s s i p e u t- o n é c rire , a v e c d e s n o ta tio n s d iff é re n te s :
I l e st en tendu qu e le s v a le u rs du ch a m p f et de V e n d o m o rp h ism e V f so n t c e lle s
au p o in t Z, et qu e Vf.f re p ré se n te V a c tio n d e V o p é ra te u r Vf s u r le v e c te u r /.
Remarques
•a
O
c
13
û
O
rsl
(y)
‘s_
>.
C L
O
U
1. Dans la formule encadrée précédente, en tout point régulier, le dénominateur est
non-nul et le numérateur a une valeur finie. Ceci signifie que le rayon de courbure,
inverse de la courbure, ne peut pas être nul. Il peut en revanche être infini.
2. Le long d’une trajectoire, le rayon de courbure peut toutefois tendre vers 0 quand
t
o o , comme par exemple dans le cas 12 du § 5.2.
2
§ Cas d’un système linéaire
=
J
3 D a n s le c a s o ù S e s t lin é a ir e , o n a Cl = e t /(z) = A zI
A lo r s , V / = A e t V / . / ( z ) = A .Az = A^z.
3
c
O
g
O n a d o n c l ’e x p r e s s io n d u r a y o n d e c o u rb u r e :
O
S
/¿7 b\
^
A v e c A = ( ^ | u n c a lc u l s a n s d iffic u lté n o u s f o u r n it l ’e x p r e s s io n d e la c o u rb u r e
û
©
a u p o in t z = ( x , y ) : y(z) =
(ad - bc)[c x^ + (d - a) xy - by^-]
[{ax -h b y Ÿ -h (ex -h d y fV 'l^
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