P r o p r i é t é s
ÉLÉM EN TAIRES EN
DIMENSIONS 1 ET 2
5
5.1 Pr o p r ié t é s d e b a se d e s s y s t è m e s
DE d im en sio n 1
L e s s y s tè m e s d e d im e n s io n 1 s o n t n a tu r e lle m e n t le s p lu s s im p le s , c e q u i e x p liq u e la
b r iè v e té d e c e p a ra g r a p h e . N o u s a v o n s d é jà m o n tr é e n e x e r c ic e 1.4 q u ’u n s y s tè m e
m o n o d im e n s io n n e l :
• n e p e u t p a s a v o ir d ’o r b ite p é r io d iq u e si Î 2 e s t u n in te r v a lle r é e l ;
• p e u t e n r e v a n c h e e n p o s s é d e r si Cl e s t u n c e rc le , e n c o r e n o m m é to re 7* d e d im e n ­
s io n 1 o u s p h è re S ' d e d im e n s io n 1.
L ’e x e r c ic e s u iv a n t r e v ie n t s u r le c a s d ’u n s y s tè m e d é fin i s u r R , e t e n é ta b lit q u e lq u e s
a u tr e s p r o p rié té s d e b a s e .
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X I
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E x e r c ic e 5 .1 T r a jec to ir es, o r b ite s e t p la g e s te m p o r e lle s d ’ un flo t s u r R
S o it X = f ( x ) u n s y s tè m e d é fin i s u r
= R , a v e c / lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e .
1. M o n tr e r q u e l ’o r b ite d e to u t x r é g u lie r e s t le p lu s g r a n d in te r v a lle c o n te n a n t x
e t c o n s titu é d e p o in ts r é g u lie r s .
2. X é ta n t u n p o in t r é g u lie r d e p la g e te m p o r e lle J ( x ) , m o n tr e r q u e la tra je c to ir e
t G J{x) 1 - ^ (p{t, x) e s t s tr ic te m e n t m o n o to n e .
3 . (a) M o n tr e r q u e V x G R , si Orb{x) e s t b o r n é e , a lo r s / ( x ) = R .
(b ) Q u e d e v ie n t c e r é s u lta t si O rb(x) n ’e s t p a s b o r n é e ?
Q
©
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