Chapitre 5 • Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2
•a
O
c
13
û
rH
O
r\l
>.
Q.
O
U
5.2 Po r t r a it s d e p h a s e s d ’un s y s t è m e
LINÉAIRE DE DIMENSION 2
L e s s y s tè m e s d y n a m iq u e s o f fr e n t u n e v a rié té in fin ie d e c o m p o r te m e n ts . M a is il e s t r e
m a r q u a b le q u e l ’e x a m e n d u c a s a priori é lé m e n ta ir e d e s s y s tè m e s lin é a ir e s d ’o r d re 2
f o u r n is s e d é jà u n e la rg e v a rié té d e tra je c to ir e s . C e t e x a m e n , d é jà in té r e s s a n t e n s o i,
e s t a u s s i u n p r é lim in a ir e p o u r l ’é tu d e d e s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s p lu s s o p h is tiq u é s .
L e s ta b le a u x s u iv a n ts p r é s e n te n t le s p o r tr a its d e p h a s e s d u s y s tè m e lin é a ir e z = A . z
o ù Z e
v4 é ta n t u n e m a tr ic e r é e lle d e d im e n s io n 2 x 2 d e v a le u r s p r o p re s A (d a n s
R ) ou P ± i ù j ( d a n s C ), a v e c a> > 0. O n a p p e lle r a x e t p le s c o m p o s a n te s d u v e c te u r z.
O n o b tie n t 1 4 cas c o r r e s p o n d a n t à d e s v a le u r s p r o p r e s r é e lle s d a n s le s c a s 1 à 11,
c o m p le x e s d a n s le s c a s
1. À\ < À2 < 0
12 à 1 4 :
nœud attractif o u puits
2. 0 < /il < À2
nœud répulsif o u source
3.
À\ < /Í2 = 0
4.
0 = /il < À2
5. Al < 0 < A2
col o u point-selle
6. /il = /Í2 < 0 a v e c A s e m i- s im p le
nœud attractif
7.
A\ = A2 > 0 a v e c A s e m i- s im p le
nœud répulsif
8. Al = /Í2 < 0 a v e c A n o n s e m i- s im p le
nœud attractif impropre
9.
0 < /il = /Í2 a v e c A n o n s e m i- s im p le
nœud répulsif impropre
10. /il = /Í2 = 0 a v e c A s e m i- s im p le
11. /il = /Í2 = 0 a v e c A n o n s e m i- s im p le
12. yu < 0
13. yu > 0
14. yu = 0
foyer attractif
foyer répulsif
centre o u point elliptique
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5.2 Po r t r a it s d e p h a s e s d ’un s y s t è m e
LINÉAIRE DE DIMENSION 2
L e s s y s tè m e s d y n a m iq u e s o f fr e n t u n e v a rié té in fin ie d e c o m p o r te m e n ts . M a is il e s t r e
m a r q u a b le q u e l ’e x a m e n d u c a s a priori é lé m e n ta ir e d e s s y s tè m e s lin é a ir e s d ’o r d re 2
f o u r n is s e d é jà u n e la rg e v a rié té d e tra je c to ir e s . C e t e x a m e n , d é jà in té r e s s a n t e n s o i,
e s t a u s s i u n p r é lim in a ir e p o u r l ’é tu d e d e s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s p lu s s o p h is tiq u é s .
L e s ta b le a u x s u iv a n ts p r é s e n te n t le s p o r tr a its d e p h a s e s d u s y s tè m e lin é a ir e z = A . z
o ù Z e
v4 é ta n t u n e m a tr ic e r é e lle d e d im e n s io n 2 x 2 d e v a le u r s p r o p re s A (d a n s
R ) ou P ± i ù j ( d a n s C ), a v e c a> > 0. O n a p p e lle r a x e t p le s c o m p o s a n te s d u v e c te u r z.
O n o b tie n t 1 4 cas c o r r e s p o n d a n t à d e s v a le u r s p r o p r e s r é e lle s d a n s le s c a s 1 à 11,
c o m p le x e s d a n s le s c a s
1. À\ < À2 < 0
12 à 1 4 :
nœud attractif o u puits
2. 0 < /il < À2
nœud répulsif o u source
3.
À\ < /Í2 = 0
4.
0 = /il < À2
5. Al < 0 < A2
col o u point-selle
6. /il = /Í2 < 0 a v e c A s e m i- s im p le
nœud attractif
7.
A\ = A2 > 0 a v e c A s e m i- s im p le
nœud répulsif
8. Al = /Í2 < 0 a v e c A n o n s e m i- s im p le
nœud attractif impropre
9.
0 < /il = /Í2 a v e c A n o n s e m i- s im p le
nœud répulsif impropre
10. /il = /Í2 = 0 a v e c A s e m i- s im p le
11. /il = /Í2 = 0 a v e c A n o n s e m i- s im p le
12. yu < 0
13. yu > 0
14. yu = 0
foyer attractif
foyer répulsif
centre o u point elliptique
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